<<<     ΛΛΛ     >>>   

Учение о числе начиная с греческого периода и далее

326

всегда включало в себя странные небольшие противоречия, которые рассудительные люди просто не принимали во внимание. В последней четверти XIX столетия более углубленное изучение всего этого предмета, начатое Георгом Г Кантором и Г. Фреге в Германии, Дж. Пеано и М. Пьери в Италии, а в Англии представителями математической логики, выявило ряд сложных вопросов. Наконец, Бертран Рассел обнаружил особенно яркое самопротиворечие современных рассуждений. Я хорошо помню, что он объяснил его Фреге в личном письме. Ответ Фреге начинался с восклицания: «Увы, арифметика шатается!»

Фреге был прав: арифметика зашаталась и до сих пор шатается. Но Бертран Рассел оказался на высоте положения. Тогда у нас с ним в самом разгаре находилась работа над книгой под названием Principia Mathematica. Рассел ввел понятие «типа» сущностей. В соответствии с его доктриной понятие числа должно применяться исключительно к группе сущностей одного и того же типа. Так, число 3, примененное к сущностям одного типа, имеет иное значение в сравнении с числом 3, примененном к сущностям другого типа. Например, если мы рассматриваем два различных типа, то имеется два различных значения числа 3.

Рассел был совершенно прав. Можно избежать всех трудностей, ограничив числовое рассуждение одним типом. Он открыл правило безопасности. Но к несчастью, это правило нельзя выразить независимо от той предпосылки, что понятие числа применимо за пределами правила. Ибо число 3 в каждом типе само принадлежит различным типам. Также и каждый тип сам по себе отличен по типу от других типов. Так, в соответствии с данным правилом понятие двух различных типов оказывается бессмыслицей, равно как и понятие двух различных значений числа 3. Из этого следует, что единственно возможный для нас путь понимания правила оказывается бессмысленным. А из этого в свою очередь следует, что правило должно быть ограничено понятием «правила безопасности» и что полное объяснение «числа» ожидает еще понимания отношения видов многообразий к бесконечности вещей. Даже в арифметике вы не можете избавиться от подсознательной ссылки на неограниченную вселенную. Вы абстрагируете отдельные детали от всеобщности и накладываете ограничения на свою абстракцию. Помните, что отказ мыслить о каких-либо сущностях еще не означает для мышления их не существование. Наше сознательное мышление есть абстракция сущностей от основания существования. Мышление есть одна из форм акцентирования важного (emphasis).

6. В конце этого исследования математических понятий мы приходим к алгебре. Кто изобрел алгебру? Вы все, конечно, захотите мне сказать, что она была изобретена в Аравии или Индии. В определенном смысле это верно, а именно: что полезное символическое обозначение для алгебраических идей возникло в одной или другой стране, а возможно, в обеих одновременно. Но есть еще один вопрос, который, я уверен, заинтересовал бы Платона, если бы он знал алгебру. Кто же изобрел те фундаментальные идеи, которые были подобным образом символизированы?

327

Какое фундаментальное понятие лежит в основании алгебры? Это понятие «любого примера данного вида в абстракции от некоторой конкретной экземплификации этого примера или этого вида».

7. Первое животное на Земле, которое хотя бы на мгновение обладало данным понятием, и оказалось первым рациональным существом. Конечно, можно наблюдать, как животные выбирают между этой вещью и той вещью. Но интеллект животных требует конкретных примеров. Человеческий же интеллект способен представить тип вещей в абстракции от таких примеров. Самым очевидным проявлением этой человеческой черты оказываются математические понятия и идеалы добра, т.е. идеалы, которые находятся за пределами возможности их непосредственной реализации.

Человечеству не дано практически воспринимать точность реализации, в то время как математика и идеалы совершенства заинтересованы именно в такой точности. В этом различие между практикой и теорией. Любая теория, так или иначе, требует точных понятий, как бы она это ни скрывала. На практике точность исчезает, а единственной проблемой остается: «Работает ли это?» Но цель практики может быть определена только при использовании теории, так что вопрос «работает ли это?» есть попросту отсылка к теории. Смутная практика стимулируется ясностью идеального опыта.

Никто еще на практике не наблюдал точного математического понятия. Обратите внимание на ребенка, обучавшегося геометрии. Он ведь никогда не наблюдал точку

328

таковую или строгую линию, строгую прямизну или стpогий круг. В сознании ребенка подобные вещи были нереализованными идеалами. Со всем этим согласится практически любой здравомыслящий человек. Но когда мы перейдем к арифметике, он начнет увиливать. Вы можете услышать, как он говорит (вероятно, вы и сами так говорите): «Я вижу 1 стул, 2,3,4,5 стульев, и я способен наблюдать, что 2 и 3 стула, будучи соединенными вместе, формируют группу в 5 стульев». Таким путем наш здравомыслящий друг якобы мог наблюдать точные примеры арифметических понятий и арифметическую теорему.

Итак, наш вопрос следующий: «Точно ли он наблюдал, т. е. обладал ли он точными понятиями, установленными в его концептуальном опыте?» В каком смысле он наблюдал именно один стул? Он наблюдал смутную дифференциацию в общем контексте своего визуального опыта. Но представьте, что мы поймаем его на одной миллиардной доле дюйма. Где же заканчивается стул и начинаются остальные вещи? Который атом относится к стулу, а который—к окружающему пространству? Стул постоянно получает и теряет атомы. Он не является строго дифференцированным от своего окружения, не является он также само тождественным в течение времени. Опять же, рассмотрим стул в течение долгих периодов. Он постоянно изменяется—-изменяются даже все его твердые деревянные части. Например, за миллион лет нахождения в пещере он становится хрупким и распадается от соприкосновения. Медленное, не воспринимаемое изменение происходит постоянно.

Вспомните, что человеческие понятия одного дюйма длины или одной секунды времени, будучи небольшими базисными количествами, полностью соответствуют человеческой жизни. Более того, современные открытия физиков и астрономов показали нам важность как ничтожнейших, так и огромных событий. Наш точный концептуальный опыт есть разновидность выделения важного. Он оживляет идеалы, которые придают силу реальным событиям. Он добавляет восприятие ценности и красоты к простому протеканию чувственного опыта. Именно благодаря концептуальному стимулу заход солнца демонстрирует все великолепие неба. При этом мы, конечно, не имеем в виду, что простое течение наших осознаваемых мыслей создает такое чудо. Это трансформация реального опыта в его идеальный предел. Наше существование

329

усиливается концептуальными идеалами, видоизменяющими смутные восприятия.

Мы не постигнем тот поток, который составляет наш чувственный опыт, пока не осознаем, что он возвышается над пустотой бесконечности с помощью последовательных разновидностей выделения важного, генерирующих активную энергию конечных объединений. Предрассудочный страх перед бесконечностью оказался сущим ядом для философии. Бесконечное ведь не имеет свойств. Любая ценность есть дар конечности, которая является необходимым условием деятельности. Деятельность же означает возникновение структур (patterns) объединений; эти структуры изучаются математикой. Здесь мы находим главный ключ к отношению математики к изучению понятий добра и зла.

8. Вы обратите внимание, как ранее в этом эссе мы уже подчеркивали, что не бывает само существующих конечных сущностей. Конечное необходимым образом указывает на неограниченное основание. Сейчас же мы подошли к противоположной доктрине, а именно: что бесконечность сама по себе бессмысленна и лишена ценности. Она получает значение и ценность в результате воплощения в конечные сущности. Вне конечного бесконечное лишено значения и неотличимо ни от чего. Понятие сущностного взаимоотношения всех вещей является исходным шагом к пониманию того, каким образом конечным сущностям требуется неограниченная вселенная и как вселенная получает значение и ценность путем воплощения в ней активности конечного.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

Привлекательность философии спинозы заключается в модификации им декартовской позиции в сторону заключение мышления
В существовании которого его уверяла собственная философия
Выделяются подобным образом
Потенциальной энергией частицы в каждый последующий промежуток времени
Мышление еще находилось в зачаточном состоянии