<<<     ΛΛΛ     >>>   

Воображение - вот та способность, которая в культуре и науке Нового времени выходит на центральное место. Именно в науке, причем в математике, воображение начинает играть ведущую роль. Не кто иной, как Лейбниц, выдающийся математик XVII в., философски осмыслявший создаваемую - в том числе и им самим - новоевропейскую математику, отмечал: «Универсальная математика - это, так сказать, логика воображения; ее предметом является все, что в области воображения поддается точному определению» [цит. по: 17, с. 420]. Это небывало значительное место воображения в математике, ставшей с XVI-XVII вв. фундаментом науки о природе (механики, физики) представляет едва ли не самый выразительный пример перехода к неизвестному ранее типу миропонимания, характерному для новоевропейской культуры.

Математики XVII в. вполне ясно осознают, что, вводя воображаемые бесконечные линии, бесконечно удаленные точки, бесконечно большие или бесконечно малые величины, они, в сущности, имеют дело с фикциями. Так, Лейбниц говорит об этом вполне недвусмысленно: «Думают о последнем пределе, о бесконечном числе или о бесконечно малых величинах; но все это только фикции (курсив мой. - П.Г.). Всякое число конечно и поддается обозначению, то же самое необходимо сказать о линии; да и бесконечные, или бесконечно малые, величины все же выражают величины, которые можно принимать сколь угодно большими или малыми, чтобы показать этим, что допускаемая при этом ошибка меньше обозначаемой величины, т.е. что в этом нет никакой ошибки...» [20, т. 4, с. 118-119]. С такого рода фикциями- бесконечно удаленными точками- как раз и имеет дело Дезарг; с помощью бесконечно удаленной точки он как бы спасает непрерывность изменения кривой при непрерывном изменении наклона плоскости, пересекающей конус. Однако эта непрерывность особого рода: она не исключает скачкообразных изменений кривой, когда при переходе плоскостью определенных положений образуемая на пересечении конуса и плоскости фигура из бесконечной (эллипса) превращается сперва в бесконечную прямую, затем (при следующем скачке) в гиперболу, а при движении плоскости в противоположном направлении - в параболу. Такого рода мгновенные скачки представляют собой те самые «переходы в другой род», которые не допускались в античной и средневековой науке5. Парадокс здесь в том, что очень малые изменения причины (в данном случае - наклона плоскости) вносят резкие, качественные изменения в характер сечения; и только введение актуальной бесконечности - понятия-парадокса - дает возможность рассматривать такие разные кривые, как эллипс, парабола, гипербола как принадлежащие одному роду. В самом деле, как объединить в общий род, скажем, эллипс и параболу? У эллипса - два фокуса, а у параболы - один; эллипс - фигура замкнутая, парабола разомкнута; столь различные свойства их требуют и разных математических доказательств, учитывающих особенности каждой из этих кривых. Чтобы свести их в один род, надобно и у параболы найти второй фокус. Однако таким фокусом не может быть никакая точка, находящаяся на конечном расстоянии от первого фокуса. Значит, заключает Дезарг, второй фокус должен лежать в бесконечности. Принципиальными для математика теперь становятся не свойства кривых, а общий способ их получения, движение, конструирующее их. Для получения такого общего принципа конструирования и вводится, в сущности, фиктивное средство: точка, лежащая в бесконечности. Понять, что такое эта воображаемая точка, невозможно. Такой подход открывает широкие перспективы новой науке: он позволяет подвести под общий род множество разнородных математических объектов, например конус и цилиндр: конус превращается в цилиндр, если удалять его вершину в бесконечность, сохраняя неподвижным его основание. Соответственно параллельные линии можно рассматривать как пересекающиеся - только в бесконечно удаленной точке.

Именно устранение из научного обихода категории субстанции, устранение, начало которому положил номинализм XIV в., сделало возможным подведение под общий род весьма разнородных образований: угол рассмотрения их оказывается теперь существенно новым. Математики XVII в. стремились найти такой способ доказательства, который основывался бы не на рассмотрении различных фигур самих по себе, а открывал бы общий закон их конструирования. Проективная геометрия становится чем-то вроде парадигмы новой математики именно потому, что, по словам Лейбница, она открывает возможность «применить к параболе все без исключения геометрические теоремы, относящиеся к эллипсу, если только парабола рассматривается как эллипс, фокусы которого бесконечно удалены друг от друга, или (если представляется желательным избегать выражения "бесконечное") как фигура, отличие которой от эллипса может стать меньше всякой данной величины» [20, т. 1, с. 205]. Как видим, Лейбниц сближает между собой метод, на котором строится проективная геометрия, с методом, применяемым в дифференциальном исчислении: в обоих случаях математики пользуются фикциями, связанными с допущением актуальной бесконечности. Именно с понятием бесконечности связан знаменитый Лейбницев принцип непрерывности, в котором он видел фундаментальную аксиому науки Нового времени6.

В проективной геометрии существенна еще одна деталь, выражающая особенности новоевропейского подхода к миру. Древние математики относились к проекциям иначе, чем художники и математики XVI-XVII вв. Ведь проекция - это образ некоторой фигуры, в сущности, ее тень; подлинное же знание, наука начинается, согласно Платону и его последователям, только там, где от теней (проекций) обращаются к самой вещи (сущности), от образа - к его прообразу. Для Дезарга же существенного различия между прообразом (т.е. той окружностью, которая составляет основание конуса) и ее многочисленными проекциями (тенями) на плоскостях сечения больше не существует; более того, главная идея проективной геометрии как раз и состоит в том, чтобы принципиально отменить это различие - иначе невозможно перейти от изучения отдельных конических кривых ко всему их общему классу, а это значит -к общему способу их получения, некоторому ряду, членом которого является каждая из коник. Индивидуальные свойства геометрической фигуры теряют свое значение: интерес представляют лишь те свойства всех конических сечений, которые инвариантны относительно проекций. С этой точки зрения прообраз может мере рассматриваться как проекция образа, и наоборот. Любая кривая предстает теперь как образ другой — причина этого в том, что устраняется как бы субстанция, сущность каждой из них: геометрический образ десубстанциализируется. Окружность теряет свое привилегированное положение, какое она имела в античной философии, математике и физике; она становится одной из равноправных проекций. Исчезает различие «подлинника» и «копии», прообраза и образа, вещи и ее тени. Все это становится относительным; отношение встает на место субстанции7.

Таков философский смысл перехода от математики античной к математике новоевропейской; общее изменение принципов математической науки происходит здесь, как мы видели, благодаря допущению фиктивных элементов - бесконечно удаленных точек, предполагающих молчаливое узаконение актуально бесконечного, непостижимого для человеческого ума.

Духовное родство проективной геометрии с перспективистской живописью особенно наглядно сказывается в общей для них установке - доверии к иллюзии. Именно благодаря этому доверию прообраз и образ, вещь и ее отражение, - будь то в зеркале, как у Антонио Аверлино Филарете, или на секущей плоскости, как у Дезарга, - оказываются вполне равноправными. Изучение законов иллюзии в живописи и законов образования проекций в математике имеет общий мировоззренческий исток: интерес к деформации, к искажению естественного, к условным, - чтобы не сказать фиктивным, - конструкциям, создаваемым человеком, ощутившим могущество своей субъективности.

Стремление узаконить понятие актуальной бесконечности в философии и в научной сфере возникло значительно раньше, чем была создана проективная геометрия. Еще в XV в. кардинал Николай из Кузы ввел новый для того времени философский принцип совпадения противоположностей - максимума и минимума, который предполагал отмену фундаментального для античной и средневековой мысли закона тождества, т.е. запрета противоречия. В качестве принципа, позволяющего утвердить закон совпадения противоположностей, Николай Кузанский вводит именно понятие актуальной бесконечности, а в поисках наглядного примера такого совпадения обращается к математике. При увеличении радиуса круга до бесконечности, говорит Кузанец, окружность превращается в бесконечную прямую (а между тем, согласно принятым в античной математике аксиомам, свойства окружности несовместимы со свойствами прямой). У такого бесконечного, т.е. максимального круга диаметр становится тождественным окружности, более того, с окружностью совпадает и центр круга, который теперь - везде и нигде), а тем самым оказываются совпавшими точка (минимум) и бесконечная прямая (максимум). Согласно Николаю, аналогично обстоит дело с любой другой фигурой, например, с треугольником: если одна его сторона становится бесконечной, то и две другие тоже будут бесконечными. «Но нескольких бесконечностей не бывает, и за пределами воображения ты понимаешь, что бесконечный треугольник не может состоять из нескольких линий, хоть этот максимальный, не составной и простейший треугольник есть истиннейший треугольник, обязательно имеющий три линии, и, значит, единственная бесконечная линия с необходимостью оказывается в нем тремя...» [21, т. 1, с. 69]. Так Кузанец демонстрирует, что бесконечная линия есть и треугольник, и круг, и шар.

Как известно, античные математики не допускали в свои теоретические построения понятие актуально бесконечного, ибо оно порождало парадоксы и разрушало строгость доказательств. Как справедливо отмечает Эрнст Кассирер, «Николай Кузанский впервые отваживается высказать положение, весьма далекое от античного метода исчерпывания: что круг по своему понятийному содержанию и бытию есть не что иное, как многоугольник с бесконечным количеством сторон. Понятие "предел" получает здесь положительное значение: предельное значение может быть определено не иначе, как в силу неограниченного процесса приближения. Незавершимость этого процесса теперь уже не является свидетельством внутреннего, понятийного недостатка, а, напротив, является доказательством его силы и своеобразия: разум может осознать свои возможности только в бесконечном объекте, в безграничном пространстве» [22, S. 56].

Но это означает, что грань между трансцендентным Богом, который один в средние века мыслился как актуально бесконечный, и тварным миром до известной степени снимается; в результате конечное, тварное начало теряет свою определенность. И это естественно, коль скоро парадокс в виде принципа совпадения противоположностей объявляется верховным началом философии. И в самом деле, вот что вытекает из принятой Кузанцем предпосылки: «Если бы одна бесконечная линия состояла из бесконечного числа отрезков в пядь, а другая - из бесконечного числа отрезков в две пяди, они все-таки с необходимостью были бы равны, поскольку бесконечность не может быть больше бесконечности... Мало того: поскольку любая часть бесконечности - тоже бесконечность, одна пядь бесконечной линии так же превращается во всю бесконечную линию, как две пяди. Точно так же, раз всякая сущность в максимальной сущности есть сама эта максимальная сущность, максимум есть не что иное, как точнейшая мера всех сущностей» [21, т. 1, с. 52].

«Точность» такой меры, как видим, отменяет прежнее понятие точности. Если для античной (и усвоившей ее принципы средневековой) математики важно было найти критерий для сравнения между собой конечных величин, для установления соотношений между ними, то для математики, вводящей в качестве «меры» актуальную бесконечность, исчезают всякие конечные различия между числами и фигурами, двойка оказывается равна любому другому числу, треугольник и окружность -бесконечной линии и т.д. Кузанец хорошо понимает, что принцип совпадения противоположностей отменяет математическую науку, как, впрочем, и все знание в том смысле, как его понимали прежде. С помощью идеи тождества единого и бесконечного, минимума и максимума, с помощью актуально бесконечного как меры он приводит во взвешенное состояние всю прежнюю античную и средневековую науку, а не просто отдельные ее положения. В этом смысле учение Кузанца вполне созвучно духу скептического и парадоксалистского XV в.; другими средствами и с помощью других аргументов, чем номиналисты, Николай из Кузы продолжает то же дело разрушения онтологии субстанции: не случайно метафизика Аристотеля служит у него объектом самой ожесточенной критики.

В связи с критикой онтологии субстанциализма на первый план у Кузанца, как и у Оккама, выходит принцип отношения: рассмотрение всего сущего ведется им под знаком соотнесенности, и относительность оказывается руководящей идеей при рассмотрении мира в целом. Вселенная, как считает Николай Кузанский, не является ни негативно (т.е. актуально) бесконечной (актуально бесконечен лишь Бог), ни конечной: она, по словам Николая, привативно бесконечна, поскольку «не имеет предела». Понятие «привативной бесконечности» близко к понятию бесконечности потенциальной: это конечность, которая может возрастать без предела, но не может превратиться в бесконечность актуальную. Вселенная, согласно Кузанцу, может возрастать беспредельно, ибо не имеет предела создавшее ее божественное всемогущество.

У бесконечной Вселенной не может быть ни центра, ни окружности. Ибо центр и окружность - границы, а бесконечность, пусть даже прива-тивная, пределов не имеет. Отсюда следует чрезвычайной важности вывод: Земля не является центром мироздания. Во-первых, потому, что у Вселенной нет никакого центра, а во-вторых, не существует такой совершенной сферы, чтобы все точки ее периферии были равно удалены от центра: в сотворенном мире не может быть равенства. «Точной равноудаленности от разных мест вне Бога не найти, потому что только Он один есть бесконечное равенство» [21, с. 132]. Бог, по Кузанцу, есть абсолютный центр мира и абсолютная окружность его. Отсюда следует, что Земля ничем принципиально не отличается от других небесных тел - она не находится в центре мира, не является неподвижной; а значит, объективно во Вселенной нет ни «верха», ни «низа», в небе нет неподвижных и фиксированных полюсов, но «любая часть мира движется» [21, с. 135]; положение небесных тел относительно. Центром мы обычно называем, говорит Николай, точку зрения наблюдателя, которому свойственно считать себя в центре, где бы он ни находился, - такова иллюзия восприятия..

Как видим, задолго до Коперника Николай Кузанский существенно подрывает основы не только геометрии Евклида, но и физики Аристотеля, и астрономии Птолемея; вся античная и средневековая наука объясняется им продуктом низшей познавательной способности - рассудка, а не высшей - интеллекта, который способен «вместить бесконечное».

Для нас здесь важно отметить, что, по убеждению Кузанца, все определенное, включая и логическую основу всякой определенности - закон тожества, - дано с конечной точки зрения, и только относительность абсолютна, ибо она есть результат воззрения на мир сквозь призму бесконечности. В этой новой метафизике - назовем ее метафизикой относительности - все существующее с самого начала отнесено к другому и определяется только через эту его отнесенность.

Если уже у номиналистов отношение выходит на первый план по сравнению с бытием, то Николай Кузанский идет еще дальше: у него без отношения вообще нет никакого бытия. Это - основной принцип тварного мира; он, как мы видели, вытекает из рассмотрения всего сущего сквозь призму бесконечности, что приводит во взвешенное состояние всякую определенность, в результате чего все оказывается тождественным всему. Метафизика относительности располагает только одним средством для определения сущего: все в вещи определяется через ее отношение к другому. Всякая вещь оказывается функцией другой вещи, та, в свою очередь, опять-таки другой - и так до бесконечности, ибо в тварном мире нет никаких фиксированных точек, никаких абсолютных мест, никаких определенных координат.

Если в онтологии, берущей свое начало в античности, всякое сущее должно быть прежде, чем оно может вступить в отношение с другим сущим, то для новой метафизики соотнесенность с другим (другими), всеобщая соотнесенность принадлежит к самому бытию сущего, - вернее, она и есть само это бытие. Без отношения нет никакого бытия. Таков закон тварного мира; этому закону неподвластен лишь Бог. «С Николая Кузанского, - пишет немецкий философ Г. Ромбах, - начинается онтология, которую мы называем функционализмом» [23, с. 162].

Субстанция вещи как ее бытие в самой себе больше не существует; ведь быть функцией означает, что вещь без остатка, полностью исчезает в том, что она вызывает в чем-то другом; так что функцию можно, пожалуй, определить как бытие в другом - в некой всеобщей связи, которая в новой науке становится предметом интереса ученого. Собственно, эта связь, эта соотнесенность и есть то, что получило название закона природы. Отныне именно законы природы составляют предмет исследования естественных наук.

Так в эпоху позднего средневековья и Возрождения были созданы предпосылки нового типа мышления и мировосприятия, в рамках которых сложилась новоевропейская наука.

ПРИМЕЧАНИЯ

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

Связанными с допущением актуальной бесконечности
От средневекового живописца требуется изображение сущности