<<<     ΛΛΛ     >>>   

Публикуется впервые по материалам из архива А.Ф.Лосева. Сохранился первоначальный вариант статьи в виде авторской рукописи и машинописи под заголовком «Критические заметки по поводу математической логики» (50 стр.), на который имеется развернутый отзыв Э.Кольмана (машинопись с рукописной правкой и подписью) от 15 января 1944 года. Расширенный вариант статьи представлен в двух машинописных экземплярах под несколько измененным названием «Критические заметки о буржуазной математической логике» (86 стр.) вместе с рукописными исправлениями и вставками в первоначальный текст, написанными В.М.Лосевой под диктовку А.Ф.Лосева, – это было обычной практикой, т.к. Лосев после ареста и пребывания в ГУЛАГе в 1930–33 гг. в значительной степени потерял зрение и поэтому пользовался помощью жены, а потом и «секретарей».

Здесь публикуется более поздний вариант статьи, а вместе с ним и основные замечания Э.Кольмана (1892–1979). Оформляя их в виде примечаний к соответствующим местам текста А.Ф.Лосева, мы преследуем при этом следующие цели. Во-первых, на многие пункты критики Э.Кольмана автор давал, как правило, собственные развернутые возражения или же – много реже – соглашался с поправками и так или иначе учитывал их. В итоге, в целом получился своеобразный и весьма энергичный диалог, который мы сегодня можем достаточно подробно проследить. Во-вторых, позиция Э.Кольмана является, что называется, представительной, ибо он как крупный и тонкий знаток затронутой в лосевской статье проблематики, да еще и явно сочувствующий идеям математической логики, вполне может выражать позицию современных ее ценителей (за вычетом, разумеется, специфических идеологических клише, характерных для сталинской эпохи и теперь не воспроизводимых). Этот диалог примерно 60-летней давности предвосхищает многие возражения, которые и теперь найдутся против критики логицизма у сторонников «чистой» математики (и логики), а также позволяет представить, что имелось у А.Ф.Лосева для аргументированного ответа им.

Статья А.Ф.Лосева не датирована, однако ее хронологические границы вполне надежно фиксируются по архивным данным. Ее основное ядро сложилось скорее всего во второй половине 1943 г. (учитываем дату отзыва Э.Кольмана), окончательный же вид текст статьи получил, вероятно, в 1947 г., когда автор мог снова вернуться к данной работе, посчитав ее актуальной в связи с выход в свет русского перевода книги Д.Гильберта и В.Аккермана «Основы теоретической логики». Последнее предположение подтверждают даты газет, в которые завернуты машинописные экземпляры статьи – они относятся к июлю и августу 1947 г. Заметим также, что основной корпус изменений и дополнений, внесенных автором в статью, относится как раз к темам данной книги.

При публикации в основном соблюдена орфография и пунктуация подлинника, подчеркивания в оригинале переданы у нас курсивом, конъектуры помещены в угловых скобках. Унифицировано написание имен и фамилий Евклид (у Лосева – Эвклид), Пеано (поначалу автор употреблял форму «Пэано», затем – не по всему тексту – провел исправление) и Рассел (в оригинале чаще всего Рессел, иногда Рессель, у Э.Кольмана встречается второе написание). По тексту замечаний Э.Кольмана, из которых воспроизводится примерно три четверти, нами опущены отсылки к первоначальному тексту статьи А.Ф.Лосева, в которых указывались №№ страниц и строк.

1 Замечание Э.Кольмана: «Неправильно отождествлять так называемую математическую логику и логистику. Первая, которую вернее следует называть символической логикой или еще правильнее символическим методом в логике, преследует цель аксиоматического изложения логики. Между тем вторая, логистика, пытается выяснить логическую структуру математики, а в своих преувеличениях свести математику к логике, что следовательно не одно и то же».

2 В машинописи и рукописи статьи оставлено место примерно в полстроки, видимо, для названия энциклопедии.

3 Указанные «две линии логистики» А.Ф.Лосев излагает в точности по «Введению» к книге D.Hilbert и W.Ackermann, Grundzuge der theoretischen Logic. Berl. 1928. 19372 , перевод на русский язык – Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.,1947. С.18. Разумеется, перечисление работ самого Гильберта добавлено здесь А.Ф.Лосевым. Названный «Формуляр математики» Пеано выходил с 1894 по 1908 гг. Уточним годы жизни де Моргана: 1806–1871.

4 Замечание Э.Кольмана: «Признавая необходимость «математики логики» и критикуя математическую логику, так сказать, «слева» за недостаточное объединение обеих наук, автор, указывая, что такое объединение должно произойти другим методом (каким?), ставит себя в затруднительное положение».

5 На деле А.Ф.Лосев не находился «в затруднительном положении» (см. выше реплику Э.Кольмана), ибо свои «положительные построения» в области логических основ математики он как раз активно разрабатывал и оформлял в 1930-40-е годы. Эти труды при жизни автора не увидели свет и были опубликованы (причем далеко еще не все) лишь в последние годы; см.: «Логическая теория числа» (Вопросы философии.1994. №11. С.82–134), «О методе бесконечно-малых в логике», «Некоторые элементарные размышления к вопросу о логических основах исчисления бесконечно-малых», «Математика и диалектика» (в кн.: Лосев А.Ф. Хаос и структура. М.,1997. С.609–802), первый том обширного исследования «Диалектические основы математики» (с. 18–608 в кн. «Хаос и структура» и – заключительные главы, – на с. 516–646 в кн. Лосев А.Ф. Личность и Абсолют. М.,1999), «К вопросу о применении теории отражения в логике», «Основной принцип мышления и вытекающие из него логические законы мышления» (Вопросы философии. 1998. №8. С.138–152).

6 Замечание Э.Кольмана: «Нельзя согласиться и с тем, что дедукция «есть только метод изложения уже добытого знания, но никак не метод получения самого знания». Здесь у автора все перепуталось. Верно, что нельзя дедуцировать существование треугольника так же как и существование Кельнского собора. Но верно так же, что если треугольник (и Кельнский собор) существует и если известны определенные геометрические принципы (или архитектурные), то можно дедуцировать, что, например, высоты пересекутся в одной точке (или, что окна – стрельчатые) и для этого нет необходимости иметь зрячие глаза».

7 Замечание Э.Кольмана: «Крайне неудачный пример, ибо здесь все-таки имеет место дедукция именно в смысле умозаключения от общего к частному. Общая посылка здесь такова: смежные углы дают в сумме развернутый угол. Частным случаем является случай внутренних углов треугольника, которые при помощи среднего члена (и при помощи построения!) приводятся к смежным. Конечно, та формализация, которую дает автор, сводя все к безразличным количественным равенствам А = В, В = С, следовательно А = С, маскирует дедукцию. Но ведь это как раз метод несмысловой, порицаемый автором, а тут он сам применил его, аргументируя. Между тем применение принципа «две величины порознь равные третьей равны между собой» – это типичный дедуктивный вывод. Ибо это общий принцип, под который всякий раз подводится частный случай». Следующий ниже по тексту абзац – ответ А.Ф.Лосева на это замечание.

8 Замечание Э.Кольмана: «Все это соображение пункта 1) бьет мимо цели. Даже самые что ни есть заядлые символические логики не отрицают, что можно дать определение того или другого понятия путем взаимного расположения его с другими понятиями. Все дело в том, что таким образом получается бесконечная регрессия или же порочный круг. Чтобы избежать и того и другого, приходится принимать какие-то понятия за исходные, далее не определимые. И в этом нет ничего порочного. Принимая какую-то совокупность исходных, на данном этапе нашего знания неопределимых понятий, мы строим какую-то систему. Затем, применяя эту систему на практике, мы приходим к необходимости видоизменить исходные понятия, ибо выясняется, что первоначальная система была и не полна, что некоторые понятия были излишни и т.п. И с новой научной системой происходит то же самое, ибо наука есть круг кругов».

9 Замечание Э.Кольмана: «Замечание автора против мнимой условности математических аксиом вполне справедливо. Однако дело вовсе не так просто, как оно рисуется автору. Верно, что возможность интерпретации одной из геометрий в терминах другой геометрии доказывает необходимую связь между этими геометриями. Но проблема состоит в том, чтобы объяснить, почему возможна (и когда, ибо, увы, не всегда) подобная интерпретация. Аргументация же автора в пользу его правильного тезиса совершенно не состоятельна ни философски, ни фактически (математически). Автор пишет, что наличие среди логических категорий какой-либо определенной, уже доказывает соответствующую аксиому в геометрии. Но, во-первых, говорить так – это разделять точку зрения реализма, равносильного, как известно, идеалистическому пониманию роли понятий. Во-вторых, никакие квази-диалектические ухищрения (у автора по поводу «отрицательного присутствия» непрерывности; а что если бы речь шла о геометрии без конгруэнтности, как тогда быть, неужто и тогда автор скажет, что «конгруэнтной будет сама конгруэнтность» и ... сумеет пояснить, что это должно означать?) тут не в состоянии опровергнуть упрямые математические факты. Вот, например, существует теорем Дезарга, относящаяся к планиметрии и не включающая никакие метрические отношения. Эта теорема недоказуема планиметрически и неметрически, но доказуема либо при помощи стереометрии, либо при помощи метрической планиметрии. С точки зрения, выдвинутой автором, это совершенно необъяснимо тем более, что неметрические (проективные) свойства более общи, более глубоки, более «геометричны» чем свойства метрические. Да и какие это логические категории, одно наличие которых в нашем мышлении уже обеспечивает аксиому Дезарга? Вывод автора, также сформулированный квази-диалектически, мог получиться лишь благодаря отчужденности хода его мысли от конкретных наук (в данном случае, от математики), благодаря игнорированию того, что аксиомы – это квинтэссенция векового индуктивного, эмпирического знания и что о каком-либо другом (т.е. дедуктивном, о котором в символической логике вообще и идет речь) их доказательстве, кроме доказательства практикой, не может быть и речи». Два следующих ниже по тексту абзаца – ответная реплика А.Ф.Лосева.

10 Замечание Э.Кольмана: «Вся эта страстная тирада пункта 2) (кстати, автор вообще частенько возмущается – хотя бы, скажем, тем, что математики «изощряются в построении разных пространств» – и совершенно напрасно, ибо все это вещи весьма полезные, независимо от тех философских идей, которые с ними связывают те или другие математики) вызывает недоумение. Почему, когда я отвлекаюсь от того, что у меня имеются яблоки (три яблока и два яблока) и заявляю, что всегда 3 + 2 = 2 + 3 это будет допустимая, полезная абстракция, а также, когда я отвлекаюсь от того, что у меня именно 3 и 2 и заявляю, что всегда a + b = b + a, – это опять-таки будет допустимая, полезная абстракция, между тем как отвлечение от того, что у меня именно сложение и рассмотрение еще более абстрактного отношения a * b = b * a, – это уже недопустимо и вредно. Почему? Не потому ли, что это выходит за пределы традиционного круга знаний? Как известно, высокие ступени абстракции не отделяют нас от предмета, а позволяют наоборот глубже познать его во всей его конкретности. Так обстоит дело объективно, независимо от того, чего бы там ни говорили сами логистики. Между тем автор отдает им этот метод лишь потому, что они выдают его за отрыв от конкретного, за «произвольное соглашение» и т.п. Не по словам логистиков, а по делам символического метода в логике надо судить его. Если оказывается, что этот метод дал возможность глубоко вскрыть структуру математических понятий, операций и т.д., если благодаря ему удалось разработать тонкости теории множеств, а следовательно топологии, обобщить понятие интеграла и т.д., если, например, созданное логическое исчисление послужило основой аксиоматики теории вероятностей, если оно применяется в другой интерпретации для расчетов в механике, если современная теория квантовых процессов пользуется одной из логик (в ней не имеет место дистрибутивный закон для основных логических операций; она – примерно – так относится к нашей логике, как неевклидова геометрия к евклидовой геометрии) – разве это не доказывает, что смешно ставить вопрос, «целесообразно ли вообще заниматься таким пустым предметом»?» В дальнейшем тексте (вплоть до пункта 3) А.Ф.Лосев фактически воспроизводит эти мысли Э.Кольмана, соглашаясь с ними.

11 Замечание Э.Кольмана: «Конечно, утверждение, что А включается в В, основано и на том, что «дерево» «включено» в «зелень», и на том, что «человек» «включается» в «смертные существа», и на многих других включениях. Но если это есть петицио принципии, то оно есть в любом познании и это действительно так, в том же смысле как и для логистики. В любом суждении совершается ведь порочный круг, ибо любое суждение происходит при помощи рассудка, являющегося отрицанием наглядности, но вместе с тем источником этого суждения всегда в конце концов является наглядность, а возвращается оно также в результате своем к наглядности. Значит, здесь в самом символическом методе нет ничего специфического. Особенность лишь в высказываниях (гносеологических) логистиков, но это другой вопрос».

12 Замечание Э.Кольмана: «Обращает на себя внимание формулировка автора, согласно которой в диалектической логике категории находятся в процессе свободного развития, не отражая чуждую им действительность. Так обстоит дело в идеалистической логике, но отнюдь не в логике материалистической, где субъективная логика является отражением логики объективной, где логические категории суть снимки категорий материальной действительности. Та же неверная мысль повторена и дальше, где логическое считается «самостоятельно-категориальным».

13 Замечание Э.Кольмана: «Верно, что символический метод, примененный к логике, а также логика, примененная к математике – это не есть «математическая» логика, ибо как бы логика не использовала тот или другой метод, она остается логикой со своими собственными принципами, метод же (математический) играет в ней лишь подчиненную, подсобную роль под контролем этих принципов. Но неверно, будто логика, исследующая логическую структуру математики, служащая для ее логического обоснования, не сеть логика математики, применяемая к физике – логика физики и т.д. Отрицание логики конкретной науки, признание лишь «чистой логики» нельзя согласовать с учением диалектического материализма о конкретности истины».

14 Замечание Э.Кольмана: «Различение, проводимое автором между числом и понятием числа, конечно, верно. Но логистика как раз и занимается (в отличие о математики) не числами, а понятиями чисел, и как раз поэтому она и является «бледной тенью» самой математики. Все это автор сам признал двумя страницами раньше, но позабыл. Там он хулит логистику за то, что она берет только понятия логические, здесь же за то, что она пренебрегает обще-смысловой (логической) качественностью чисел. Может быть это и есть диалектика?»

15 Замечание Э.Кольмана: «Верно, что понятийные связи не суть только связи сложения, умножения, подстановки и т.д. (которые автор неточно называет связями количественными), но верно также, что эти связи крайне важны для связей понятийных, составляют, так сказать, их скелет, и что их изучение содействует вскрытию закономерностей мышления именно понятийного, так же как и обмеривание, взвешивание и т.д. уточняет понятие «пера»». Далее до пункта 4 следует добавление в лосевском тексте как реакция на это замечание.

16 Замечание Э.Кольмана: «Страшно ядовито насчет агностицизма! Но все дело лишь в том, что можно взять любой класс, что безразлично, какой именно. Ведь этот подход – основа основ всей формальной логики и не только логистики, а там автор не считает его агностическим». А.Ф.Лосев в ответ на это замечание ввел следующее далее по тексту предложение в скобках.

17 Точнее, см.: Кутюра Л. Философские принципы математики / Перевод с французского Б.Кореня под ред. П.С.Юшкевича со вступительной статьей Ф.Ф.Линде. СПб., 1913. С.46–47.

18 Замечание Э.Кольмана: «Все это рассуждение прискорбно ошибочно. Когда у меня класс (или множество) «мешок картофеля», то, конечно, в этом понятии есть и понятие числа, но только в том смысле, что оно в нем заложено, что оно в нем латентно. Но никакого явного числа, а тем более определения числа в данном классе нет. Далее, неверно, будто класс есть общее свойство каких-то элементов. Класс не есть свойство, а отношение. Затем: число не получается из множества простым отбрасыванием наглядного содержания (кстати, абстрагирование вообще никогда не состоит в простом отбрасывании чего-то, а <реализуется> при помощи придавания этому «чему-то» переменного значения; но это вопрос особый), а процессом более сложным, в котором (так его описал здесь и автор) основную роль играет: 1) установление взаимно-однозначного соответствия между множествами; 2) введение нового абстрактного множества – представителя всех взаимно-однозначных множеств с данным множеством; оно и есть число». На первую часть возражения А.Ф.Лосев отвечает в следующем далее абзаце.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

Совершенно бессмысленно говорить о логическом выведении понятия плоскости из понятия прямой
Конечно
1 замечание э