Пиши и продавай!
Пиши и продавай! |
|
>
Лосев А. Критические заметки о буржуазной математической логикеПубликация А.А.Тахо-Годи, Источник: Историко-математические исследования, вып. 8 (43), 2003, с. 339–401. Огромное распространение идей т.н. математической логики или логистики общеизвестно. Теперь это уже перестает быть каким-то одним из методов логики и грозит оттеснить всякую иную логику1. В последнем американском философском словаре2 <...> уже нет вообще никакой другой логики кроме логистики, и в статье «Логика» этого словаря мы находим просто изложение логистики. К логистике тянется логика, но к логистике тянется и математика. С одной стороны, мы наблюдаем мощную линию: А. де Морган (1806–1876) – Г.Буль (1815–1864) – С.Джевонс (1835–1882) – С.Пирс (1839–1914) – Э.Шредер (1890– 1895) и, особенно D.Hilbert и W.Ackermann, Grundzuge der theoretischen Logic. Berl. 1928. 19372* , которая разрабатывает логику математическими средствами. С другой стороны, мы имеем также мощную магистраль: Г.Фреге (Begriffsschrift. 1879, Grundgesetze der Arithmetik. 1893–1904) – Г.Пеано (Formulaire de Mathematiques, изд. с 1894 г.) – N.Whithead and B. Russell. Principia mathematica. <(1910–1913)> – D.Hilbert (в ряде трудов), магистраль, обрабатывающую, наоборот, математику логическими средствами. Обе эти линии3 образуют в настоящее время мощную цитадель логистики, от которой весьма заметно отстает наша научная логика, не говоря уже об отставании от нее школьных дисциплин, которые в настоящее время введены или вводятся в среднее и высшее образование. Может ли логика пройти мимо этой большой отрасли науки, мимо этого сильного и на многое претендующего метода? Можем ли мы остаться безучастными к логистике в наших усилиях создать и разработать логику, соответствующую современному философскому сознанию? Мне казалось бы своевременным обратить внимание на некоторые особенности логистики, вытекающие из ее буржуазной философской сущности и вскрывающие ее конкретное лицо как мощного орудия современной буржуазной мысли. Мне кажется, мы слишком спешим с безоговорочным признанием этого метода и слишком пугаемся этого страшного для многих и гордого названия «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ логика». Точность математики и низкопоклонство перед буржуазной наукой терроризируют здесь мысль, и многие – еще до всякого критического ознакомления с логистикой – уже заранее переносят эту точность и на самую логистику. Так ли это на самом деле, – это нам и хотелось бы вскрыть в настоящих заметках. § 1. Черты догматической метафизики в современной логистике 1. Прежде всего, вся эта туча формул логистики, перед которой почтительно никнет головой всякий математически необразованный философ и логик, возможна только в силу длинного ряда догматических предпосылок, воспринятых логистикой из общего лона буржуазной философии ХIХ – ХХ вв., предпосылок, которые здесь сами собой разумеются, но которые вовсе не обязательны для критического ума, свободного от буржуазных математических предрассудков. Не то, чтобы все эти предпосылки были все обязательно ложны или плохи или противоречивы. Но всякий критический ум, после ознакомления с логистикой, никак не может понять, почему такая логика есть нечто обязательное, абсолютное, почему нужно рассуждать именно так, а не иначе. Есть другие методы, и есть другие области логики. Почему мы должны строить логику именно так, а не иначе? Почему мы должны изгнать всякую другую логику из энциклопедических словарей и в справочных изданиях (которые как раз рассчитаны на всех образованных людей) говорить только о логистике? Всмотримся в эти догматические предпосылки, лежащие в основе современной математической логики. Тут две линии. Одна – это логика, обрабатываемая математическими средствами; и другая – это математика, обрабатываемая логическими средствами. Эти две точки зрения, в конце концов, сливаются в одну, но до известного предела их можно проводить и врозь. Кроме того, необходимо тут же заметить, что наши наблюдения над логистикой совершенно не ставят никакого принципиального вопроса о взаимоотношения логики и математики, как он ставился бы и решался бы автором этой работы. Мы только ограничимся голым утверждением, что как возможен и нужен перевод логики на язык математики, так возможно и необходимо и применение математики к построению логики. Очень важна для философии логика математики, и очень важна математика логики. Однако мы ни в одной строке не даем своего собственного построения соответствующей системы, и мы хотим только указать, что критика логистики отнюдь еще не означает требования разрыва логики и математики. Наоборот, нам кажется, что в логистике эти науки недостаточно объединены и что более глубокого их объединения можно достигнуть другими, не логистическими методами4, хотя, при условии очищения логистики от произвольной метафизики, она также является в этой области весьма мощным орудием. Задача настоящей статьи чисто критическая, а именно вскрытие догматических и метафизических интерпретаций логистики; свои же положительные построения в этой области автор дает в других своих работах.5 2. Если под метафизикой понимать абсолютизирование какого-нибудь одного вида или момента бытия и значения в ущерб другим моментам и в ущерб живой цельности человеческого опыта и практики, то логистика в значительной своей части основана на догматической метафизике. Первое, что при изучении логистики бросается в глаза всякому знакомому с основами логики, это – контраст между критическим и напряженно-смысловым характером логики и математики, с одной стороны, и некритическим, бездоказательным догматизмом логистики, с другой. Этот догматизм проявляется как в допущении ряда предрассудков, часто даже плохо осознаваемых, так и во внешней манере выставлять в самом начале ничем не доказанные принципы, затушевывая и далеко запрятывая те основания, по которым эти принципы фактически выдвигаются. Во-первых, большинство логистиков, считая математику ветвью логики, к сожалению, ставят себе при этом задачу не просто перевода математики на язык логики, но изгнания из математики всякой интуиции. Думают, что при обычном подходе и арифметика и геометрия трактуются как основанные на непосредственных и наглядных представлениях, а вот мы-де, сводя это на логику, докажем, что наглядные представления тут вовсе не при чем. Но это – философская наивность и некритическая метафизика, совершенно не отвечающая действительности. С марксистско-ленинской точки зрения нет совершенно никаких оснований изгонять интуитивное мышление в пользу дискурсивного мышления или изгонять дискурсивное в пользу интуитивного. Для критической логики совершенно нет никакого ни интуитивного, ни дискурсивного мышления, а есть одно цельное и живое мышление (ибо мышление именно таково, когда оно отражает цельную и живую действительность), в котором, именно, ради абстракции и анализа, можно выделять множество разных несамостоятельных моментов и в том числе моменты наглядности и дискурсии. Логистики, по-видимому, думают так, что если в тройке заключено три единицы, то больше ничего в этой тройке и нет. А это как раз – догматическая метафизика. Тройка, во-первых, состоит из трех единиц, а, во-вторых, не состоит из них и есть некая неделимая, абсолютно-целостная индивидуальность. Если бы тройка состояла для нас только из трех изолированных единиц, то мы не могли бы понять, что такое «миллион», потому что понимание миллиона реализуется у нас уже во всяком случае без всякого раздельного представления всего этого миллиона изолированных единиц. Если счет понимать обязательно как дискурсивный вывод (что, конечно, тоже совершенно неправильно), то во всяком случае тройка как целостная индивидуальность дана сразу и без «вывода», без «счета», т.е. чисто наглядно. Всякое число обязательно и состоит и не состоит из отдельных единиц. Какой же может быть смысл понимать числа и операции над ними только вне всяких интуитивных моментов? Это – произвольная метафизика. Зачем философии также добиваться во что бы то ни стало свести геометрию на отвлеченно-логические операции? Что отвлеченно-логические операции налицо в самом наглядном геометрическом мышлении, это ясно. Что их выделять можно и нужно, тоже ясно. Но зачем же обязательно сводить на них всю геометрию? Независимость дискурсии от интуиции – ничем и никак не доказанная догматическая метафизика. Шкаф состоит из досок, гвоздей, стекла и краски. Можно и нужно говорить об этих отдельных частях шкафа. Но отдельная доска не есть шкаф; и даже все доски, из которых сделан шкаф, не есть шкаф. Гвозди, ни каждый в отдельности, ни все взятые вместе, не есть шкаф. Стекло и стекла тоже не есть шкаф. Где же тут самый-то шкаф? Очевидно, что хотя в шкафе фактически нет ничего кроме всех этих частей, самый шкаф есть некая цельность, которая не делится на эти части без остатка; и учитывать одни только эти части, не учитывая того, что это суть части именно шкафа, это значит утерять и самое представление шкафа. Диалектический материализм учит, как всякая цельность только и состоит из определенных своих частей и не из чего другого и как одновременно с этим никакая цельность не сводима на отдельные ее части без остатка. Это значит, что дискурсивный состав нашего представления о предмете до последней глубины переплетен с наглядной фиксацией данного предмета, и оторвать одно от другого – это значит утерять самый предмет. Абсолютный рационализм или формализм и абстрактный интуитивизм суть одинаково детища буржуазной метафизики, оторванные от живого общения с бытием. Во-вторых, догматической метафизикой является безусловная уверенность в том, что математика есть дедуктивная наука. Этот предрассудок, владеющий умами с древних времен, остался незыблемым и для логистики. Наоборот, от тут получил еще большее заострение. Логистики формулируют некоторое небольшое количество исходных определений и аксиом и из них «дедуцируют» всю математику. Рассел в 1903 году формулировал 9 неопределенных понятий и 20 недоказуемых положений, из которых у него логически вытекает решительно вся математика. Таким образом, дедуктивизм тут выдвинут еще больше, чем в традиционном предрассудке на эту тему. 1) Едва ли тезис о безусловной дедуктивности математики может быть теперь защищаем полностью. Ясно, прежде всего, что этот тезис не есть результат самой математики, но есть результат определенного теоретизирования над нею. Совсем не обязательно при нахождении всякой новой теоремы выводить ее из тех или других аксиом. В дальнейшем, когда теорема доказана, можно задаться целью перечислить все положения, без которых это доказательство невозможно. Но это – вопрос той или иной теории, той или иной точки зрения на теорему, того или иного способа изложения теорем и их доказательств, а не самой теоремы в ее логическо-смысловом составе. 2) Однако, допустим, что мы поставили себе целью проанализировать все принципы, использованные в данной теореме. Найти эти принципы еще не значит доказать, что данная теорема только из них одних и выведена. Возьмем то, что обычно считается аксиомой в геометрии: «две точки определяют собою одну и только одну прямую». Допустим, что мы не знаем ни одной плоской фигуры и нам неизвестно, что такое треугольник. Можно ли в таком случае вывести что-нибудь из приведенной аксиомы? Как эта аксиома ни лежала бы «в основе» учения о треугольнике, но если нам неизвестно, что такое треугольник, а известно только, что такое точка и прямая, то эта аксиома ровно ничего нам не даст для учения о треугольниках, и никакой теории треугольников нельзя будет из нее вывести. Допустим, чтобы решать алгебраические уравнения, надо знать элементарные арифметические действия. Значит ли это, что теория алгебраических уравнений «выводится» из четырех действий арифметики? Правда, этим самым мы ставим под сомнение всякую дедукцию вообще. Однако, она, взятая в столь абстрактном виде, т.е. с исключением всякой индукции, вполне достойна всякого сомнения (так же, как и абстрактно взятая индукция). Невозможно себе представить никакую плоскость, имея только понятие прямой; и ни из какого понятия прямой совершенно невозможно дедуцировать плоскость, хотя плоскость, между прочим, можно рассматривать и как след движущейся прямой, т.е. как основанную на известного рода наглядном представлении прямой. Еще можно было бы до некоторой степени осмысленно говорить о наглядном выведении образа плоскости из образа прямой; но совершенно бессмысленно говорить о логическом выведении понятия плоскости из понятия прямой. Чистая дедукция есть только выдумка и фикция формально-логических теоретиков. Она есть только метод систематизации (и, в частности, изложения) уже добытого знания, но никак не метод получения самого знания6 или, во всяком случае, она есть такой метод получения знания, который неотделим от противоположного ему индуктивного метода. Когда уже есть треугольник и характеризующие его геометрические связи, тогда можно задаться целью определить, что в них общее и что частное. Но пока нет самого треугольника, невозможно вывести из каких-либо общих принципов ни его геометрическую характеристику, ни его самого. Математика ровно в той же степени дедуктивна, в какой и искусствознание. Откуда можно дедуцировать собор Василия Блаженного, если нет его самого? Но если он уже есть и есть достаточно зрячие глаза, чтобы оценить его структуру, можно и нужно определять те общие принципы, которые лежат в основе этой структуры. Что тут дедуктивного? Ровно ничего. Точно так же законы Кеплера о движении планет, полученные вначале чисто эмпирическим путем и впоследствии выведенные из закона Ньютона о всемирном тяготении, ни в коем случае не могут считаться на этом последнем основании законами дедуктивными: и с самого начала они были получены эмпирически, и впоследствии можно было не только их выводить из закона Ньютона, но и самый закон Ньютона выводить из них. Этим, конечно, нисколько не принижается роль дедукции ни в науке вообще, ни, в частности, в математике. Мы вовсе не отрицаем моментов дедукции в науке, но признаем ее реальную значимость только в ее нераздельном единстве с индукцией. 3) Однако, если бы даже мы и согласились, что математика всерьез выводится из каких-то определенных понятий или аксиом, то даже и в этом случае абстрактно понимаемая дедукция не нашла бы себе здесь прочного места. Если дедукция есть вывод от общего к частному, то в математике сплошь и рядом мы находим выводы вовсе не дедуктивные. Вспомним доказательство равенства суммы внутренних углов треугольника двум прямым. Оно проводится при помощи приравнения этой суммы углов одному развернутому углу, который всегда равен именно двум прямым углам. Здесь, таким образом, вывод основан на равенствах: А равно В, В равно С; след<овательно>, А равно С. Где же тут дедукция? И А, и В, и С – не больше и не меньше одного другого по количеству. Тут все величины обладают совершенно одинаковой общностью.7 Всмотримся пристальнее в этот пример. Защитники непременной дедукции в математике будут в данном случае рассуждать так: сумма углов треугольника есть частный случай двух смежных углов, а два смежных угла есть частный случай двух прямых углов; следовательно, из понятия двух прямых <углов> выводится здесь понятие двух смежных, а из понятия двух смежных выводится понятие суммы углов треугольника; другими словами, тут самый настоящий переход от общего к частному, т.е. самая настоящая дедукция. Все это рассуждение в защиту дедукции в корне неправильно. Два смежных угла ни в коем случае не есть видовое понятие двух прямых углов. Два прямых угла, т.е. 180°, это есть то, что в традиционной логике называется единичным понятием, т.е. для него совершенно нельзя представить себе никакого логического вида, подобно тому как не существует никакого логического вида для Пушкина и нельзя найти никакого видового понятия для Тверского бульвара. Два смежных угла отличаются от двух прямых углов отнюдь не логически и даже не арифметически, а только геометрически, точно так же, как и сумма углов треугольника – от <суммы> двух смежных углов. Геометрическая же фигура, взятая сама по себе, вовсе не есть понятие количественное или, вообще, метрическое и даже вовсе не есть понятие. Единственно о каком подведении здесь может идти речь, – это не подведение двух смежных углов под общее понятие суммы двух прямых углов, но подведение разных способов разбиения числа 180° на два слагаемых. Однако в доказательстве равенства углов треугольника двум прямым совершенно нет никакого упоминания о разных разбиениях этих 180° на два слагаемых, потому что здесь мыслятся какие угодно разбиения, и теорема совершенно не касается никаких конкретных величин обсуждаемых в ней углов. Таким образом, дедуктивность тут мнимая, и отчленить ее от индукции совершенно невозможно. Однако приводить подобные примеры и анализировать, где в математике дедукция и где ее нет, было бы здесь для нас утомительной и ненужной работой. Уже один этот тип вывода (на основе «две величины, равные порознь третьей, равны между собой»), столь популярный в математике, неопровержимо свидетельствует о том, что математика, по крайней мере, не строго дедуктивная наука, а может быть, и совсем не дедуктивная. А нам пока большего и не надо. Тут важно убедиться, что даже если и выводить все конкретное содержание математики из принципов, то эти выводы отнюдь не всегда оказываются дедуктивными. Различает понятия |
|
|
|
|
