<<<     ΛΛΛ     >>>   

19 Замечание Э.Кольмана: «Здесь автор, наконец, смутно понял, что эквивалентность предшествует числу, <она> может быть установлена без его помощи, но тут же поспешил высказать не обоснованное ничем мнение насчет «слепой» эквивалентности. Все рассуждение по поводу количественной раздельности, которая предшествует эквивалентности, опять-таки не свидетельствует о наличии петицио принципии. Ведь возможность различить элементы множества есть лишь необходимое условие для образования числа, для счета, но это не число! Это даже не есть достаточное условие для образования числа. Также и наличие критерия исчерпания элементов множества есть лишь необходимое, но не достаточное условие для образования числа. Нужно еще, чтобы была действительная возможность установить указанное соответствие! Не трудно дать вполне конкретный пример множества, где налицо первые два условия и отсутствует третье, почему и невозможно приписать ему определенную мощность, число».

20 Замечание Э.Кольмана: «Логистика (как и формальная логика вообще) не берется воспроизводить ход образования понятий (ни в фило-, ни в онтогенезе), а лишь анализирует полученный результат, причем имеет право не следовать рабски за исторической последовательностью. Поэтому вопрос, что раньше, «пять пальцев» или «пять вообще» или же они даны вместе, лежит собственно вне логики. Но если логика ставит «пять вообще» в логическом смысле под «пять пальцев» в иерархии абстракций, то она бесспорно права и только об этом идет и речь, когда говорят об образовании чисел из множеств».

21 Замечание Э.Кольмана: «Автор ломится в открытую дверь. Громить устаревшее учение Пеано–Кутюры о натуральном ряде, давным-давно разнесенное Пуанкаре, Расселом и др., нет никакой надобности. Но и здесь автор допускает ряд серьезных погрешностей. Так, все без исключения предлагаемые им определения исходных понятий совершенно не годятся, ибо они предполагают развитое учение о числах (напр<имер>, «определение» нуля), либо столь гегелевски туманны, что для конкретной науки бесполезны (напр<имер>, «определения» последующего). Поэтому критика концепции натурального ряда автора верна лишь постольку, поскольку она имеется у Рассела, – но ведь там она исходит из позиций вовсе не анти-логистических, это просто критика, требующая улучшения техники внутри самой логистики! Рассела нашел, что система Пеано слишком широка, чтобы охватить специфику именно только натурального ряда – вот и все. Но «все что угодно» нельзя все-таки понимать под этой логической структурой, а схвачено все же важное свойство натурального ряда, и это далеко не худо, как признает сам автор. За что же тогда он попрекает логистику в этой связи? За то, что она незаметно использовала наглядное содержание натурального ряда! Нет, она всегда и везде использует наглядное содержание, и нечего принимать на веру обратные высказывания логистиков. И никакого петицио принципии нет в построении формул, а оно есть только в философском выводе логистиков насчет мнимой «произвольности» этих формул». В следующих трех абзацах текста А.Ф.Лосев по-своему учитывает эту критику.

22 Замечание Э.Кольмана: «Верно, что применение символической логики к математике заключается в систематизации чисто математических же материалов, то есть логика сама не в состоянии создать какие-либо новые математические элементы. Но неверно, что исследование совместности, полноты и т.д., например, геометрических аксиом, это мол задача математиков, что здесь логику делать нечего. Чем же тогда заниматься логикам? Исследованием своей собственной науки и только, не так ли? Все это – вредное устремление в «чистую» оторванную от конкретного приложения (хотя бы даже к теоретической же математике – и она слишком вещественна!) абстракцию понятийного мира. Исторические факты говорят, однако, что логике нашлось не только немало дела в исследовании основ математики, но что она в значительной степени развилась из этих потребностей еще у греков, а в ХIХ веке вновь из того же источника получила важнейшие стимулы. Игнорирование определяющего влияния потребностей конкретных наук на развитие логики весьма распространено – оно характерно для идеализма – но ничего не доказывает. Если взять любой элемент традиционной логики, то не трудно показать, что учение это развивалось под влиянием запросов конкретных наук (указываю наугад: так называемые «простые умозаключения» – из потребностей математических наук иметь теорию прямых и обратных теорем и т.д.)». Ниже по тексту следует абзац, добавленный А.Ф.Лосевым с учетом этого замечания.

23 Замечание Э.Кольмана: «Нужно отметить, что термин «исчисление предложений» не передает соответствующий немецкий Aussage- и английский Propositional-. Точнее надо сказать «исчисление высказываний». Но тогда возражение автора теряет силу. Что же касается термина «исчисление», то символическая логика объясняет, что она имеет в виду создание алгоритма, то есть предписания, автоматически дающего выводы из посылок. Но разве пресловутые правила силлогизмов, сведения модусов, да тот же «логический квадрат» не занимаются тем же, но с той разницей, что там это делается кустарно, несовершенно? Вообще надо помнить, что символический метод в логике вовсе не является детищем ХIХ в., а в принципе имеет в истории формальной логики глубокие корни. Не говоря даже о древних предшественниках этих идей, как поздний эпикуреец Филодемий, уже в ХIV в. у Буридана осознано дистрибутивное свойство логических операций

non (a et b) = non a vel non b».

Судя по предложению, добавленному далее в текст, А.Ф.Лосев не согласился с данной критикой.

24 Замечание Э.Кольмана: «Центральное место уделяет суждению и Энгельс. В противовес понятию, представляющему статику мысли, суждение (и умозаключение) – это форма движения мысли».

25 Замечание Э.Кольмана: «Автор с поразительной легкостью отделывается от переместительного, распределительного и т.д. законов. Он заявляет просто: это законы математические, а не логические, до этого нам, чистым логикам, дела нет. Но почему такой, например, закон, как приведенный выше не следует считать логическим законом – уму непостижимо». Далее по тексту А.Ф.Лосева до конца абзаца следует реакция автора на это замечание.

26 А.Ф.Лосев цитирует немецкое издание книги Гильберта и Аккермана в собственном переводе, указывая в скобках номер страницы этого издания.

27 Замечание Э.Кольмана: «Непонятно то непонимание, которое автор боится встретить как раз в этом пункте у читателей Гильберта. Ведь что такое «и», «или» разъяснено весьма элементарно. Что же касается того, в каком смысле Гильберт берет эти отношения, то это, как известно, дело почти что вкуса, ибо в формальной логике встречаются самые различные случаи».

28 По Гильберту–Аккерману, дизъюнкция («или») «связывает теснее», чем конъюнкция («и»), поскольку «или» понимается не как исключающее (лат. aut – aut, «или – или»), а как объединяющее (лат. vel, «или также»).

29 Замечание Э.Кольмана: «Нельзя согласиться с тем, что «и» и «или» являются скорее категориями бытия, чем мышления. Нет, они являются категориями мышления, отражающими отношения бытия». Далее по тексту А.Ф.Лосев делает существенные дополнения (до п.5), более детально развивая свою критику Гильберта.

30 Все четыре высказывания (примеры импликаций) взяты из книги Гильберта и Аккермана .

31 Пример о дожде и урожае в связи с подразделением высказываний на истинные и ложные обсуждается также, со ссылкой на И.Сталина, в комментарии С.А.Яновской к русскому переводу книги Гильберта и Аккермана ( «Основы теоретической логики», Приложение II, с.234–235).

32 Замечание Э.Кольмана: «Опять-таки автор глубоко заблуждается, утверждая, что «Х или Y равносильно Y или Х» не имеет никакого отношения к логике. Мы, конечно, не отождествляем субъективную логику с объективной, а также психологией, но мы не отрываем их друг от друга, не можем рассматривать логику (субъективную) как существующую вне всякой связи с бытием. Чтобы «Х или Y» было равносильно «Y или Х» в мышлении, для этого нужно, чтобы эти две связи были равносильны в бытии. Но всегда ли это так? Мы это постулируем в виде правила логики и тем самым ограничиваем круг действия нашей логики, делая ее непригодной, например, для рассмотрения некоторых квантовых процессов, где принципиально невозможно абстрагироваться от времени, которое ведь имплиците должно было войти в рассмотрение, но нами отбрасывалось». В ответ А.Ф.Лосев расширяет свою аргументацию в данном и следующем абзаце текста.

33 Замечание Э.Кольмана: «Несмотря на предвзятость и отвращение к математико-подобным символам, автор вынужден признать ценность теории сведения одних логических связей к другим. Если Гильберт и не дает полную систему всех возможных соединений (это имеется в соответствующей специальной литературе в изобилии), то это прежде всего потому, что он пишет элементарный учебник».

34 А.Ф.Лосев дает дословный перевод названия книги Гильберта–Аккермана, перевод названия в советском издании 1947 г. менее точен. Отметим попутно, что на контртитуле книги упомянутого перевода неверно указан год немецкого издания – 1946 вместо 1937; третье немецкое издание книги вышло в 1949 г.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

Аксиом как неопределенных
Тоже совершенно неправильно
Лосева на это замечание