<<<     ΛΛΛ     >>>   

Поэтому, основная задача логистики – свести математику на исходные понятия и аксиомы – есть не больше, как просто задача привести хаотический материал в известный порядок при помощи соблюдения строгого метода изложения. Это вопрос о способах логического изложения науки, а не о логических основах самой науки. Вопрос этот, конечно, исключительной важности для самой математики, и очень хорошо, что математики хотят привести свои материалы в строго логическую систему. Однако принципиальная и исключительная дедуктивность математики, резко противопоставленная всякой индукции, – ничем и никак не доказанная догматическая метафизика.

В-третьих, в логистике мы встречаемся еще с одним догматическим предрассудком, это – толкование исходных категорий и аксиом как неопределенных, недоказуемых и даже чисто условных, необязательных. Удивительная вещь: с одной стороны, тут огромная тяга к принципам, к аксиомам, к исходным пунктам, к необходимым и наиобщим предпосылкам, а, с другой, здесь мы находим сильнейшую релятивистскую тенденцию, сводящую все эти принципы и общности к чему-то совершенно случайному, относительному, условному. Можно понять Канта, сводившего конкретное многообразие опыта к немногим категориям и основоположениям. Но делалось это у Канта – хорошо ли, плохо ли, другой вопрос, – именно ради обоснования и осмысления этого разнообразия, ради объяснения общности и необходимости, царящей в науке. Здесь же как раз наоборот. Ищется самое общее и первоначальное – только для того, чтобы это общее объявить непонятным, необъяснимым, неопределенным, недоказуемым и даже условным.

1) Можно ли считать исходные понятия и аксиомы математики (и всякой иной науки) неопределимыми и даже неопределенными? Нужно сказать, что это тоже один из застарелых предрассудков традиционной догматической метафизики – считать первоначальное неопределимым и неопределенным.8 В самом деле, в основе математики лежит, напр<имер>, понятие числа. Почему мы должны считать его – да еще в логике – неопределимым и неопределенным? Это – очень сложная категория, которую распутать можно и должно и определение которой часто дают сами же логистики. Казалось бы, что более неопределимо, чем единица или нуль? Но уже ближайшее изучение самой логистики показывает, что логистики определяют (правда, очень плохо, как это увидим ниже), и что такое единица, и что такое нуль. Предрассудок традиционной догматической метафизики гласит: во всяком мышлении есть то исходное, что уже недоказуемо, как и во всяком знании есть, напр<имер>, ощущения, которые во всяком случае нельзя никак определить, ибо, как вы определите синий цвет или запах фиалки? На это нужно сказать, что синий цвет можно вполне точно определить и при том с разных точек зрения. Его можно определить физически – через количество колебаний. Его можно определить физиологически – путем анализа соответствующего раздражения. Его можно определить психологически. Наконец, его можно совершенно точно описать феноменологически и объяснить диалектически – путем помещения синего цвета среди других цветов – так, что будет совершенно ясен принцип получения синего цвета из соответствующих явлений белизны, прохождения белого луча через среду, светлости, насыщенности и т.д., и т.д. Это – сложная картина, но вполне достижимая (по крайней мере, принципиально). Почему же вдруг нельзя сказать, что такое «прямая» или «точка»? Можно сказать и нужно сказать. Диалектика точки или прямой – замечательная вещь, не хуже, чем диалектика красного, синего, зеленого. Говорят, нельзя определить понятие «следует», «последующее». Почему? Следование – не настолько уж примитивное представление, чтобы о нем ничего нельзя было сказать. А если бы оно и было предельно простым, то оно нашло бы себе определение путем помещения среди других таких же примитивных представлений. Можно согласиться, что первоначальные исходные понятия неопределимы по признакам. Но они всегда определимы с точки зрения взаимного расположения. Определения понятия при помощи признаков, вообще, не является ни единственным определением, ни наилучшим, что, конечно, есть очень сложная проблема, которой мы здесь не должны и не хотим заниматься.

2) Также нельзя считать исходные аксиомы математики недоказуемыми и только условными. Гильберт и другие изощряются в построении разных пространств, в которых отсутствует то одна, то другая аксиома геометрии. Можно построить геометрию без аксиомы непрерывности. Можно построить геометрию без аксиомы конгруэнтности. Особенно известны геометрии Лобачевского и Римана, основанные на разных пониманиях параллельности. Словом, полная-де условность и произвол! Какое пространство хочешь, такое и строй! Чистая условность! Ничего обязательного! Все относительно! Выбирай любые аксиомы и любую их комбинацию – получишь какое угодно пространство!

Это – до чрезвычайности примитивная философия и безнадежнейший догматически-метафизический тупик. Сами же математики устами Кэли–Клейна научили нас переходить вполне точным способом (путем вариаций т<ак> н<азываемой> кривизны) от Римана к Евклиду, от Евклида к Лобачевскому, от Лобачевского к Риману и т.д. Как же после этого можно говорить об условности каждого из этих пространств и соответствующей этим пространствам аксиоматики? Тогда все кривые второго порядка, в том числе самая обыкновенная окружность, тоже должна оказаться пустой условностью и фикцией только потому, что имеется общее уравнение кривых второго порядка. Логистики подошли к аксиоматике с орудием узко-формалистической логики, когда все категории оказываются безнадежно изолированными и дискретными, и потом – сами же удивляются, что формулируемые ими аксиомы ничем между собою не связаны и допускают любую комбинацию. Аксиомы эти, конечно, между собою строго связаны, ибо каждая из них есть выражение той или иной категории (у Гильберта, напр<имер>, «связь», «порядок», «непрерывность», «подобие» и т.д.), а все категории есть единая и цельная, хотя и развивающаяся система, подобно тому как является живою цельностью сама действительность, отражением которой должны являться и эти категории, и эти аксиомы; и комбинации этих категорий – не бесконечны и не случайны, они вполне исчислимы по своему количеству и на данном этапе развития науки за их определенное количество совершенно некуда выйти. Аксиомы эти вполне доказуемы, раз они есть выражение той или иной логической категории, потому что, с нашей точки зрения, всякая логическая категория оправдана, если она есть отражение развивающегося объективного бытия. Так, если среди наших первых категорий имеется «количество», и «количество» дорастает до «порядка» (а при рассмотрении <его> как отражения живой цельности бытия оно и не может не дорастать до так или иначе упорядоченного количества), то уже тем самым доказана необходимость аксиом порядка. Если среди наших основных категорий, из которых мы составляем логическое мышление, имеется «непрерывность», то этим самым уже доказана аксиома непрерывности в геометрии, ибо аксиома непрерывности в геометрии, очевидно, есть прямое следствие того, что мышление вообще не совершается без непрерывности, подобно тому как сама непрерывность мышления есть не что иное как специфическое отражение непрерывности самого бытия. Правда, мы можем построить пространства без этой аксиомы, но все равно и тут она будет присутствовать отрицательно, ибо в таком случае непрерывна будет сама прерывность (а если эту последнюю мыслить только прерывно, то и в этом случае прерывные моменты прерывности окажутся непрерывностью). Итак, исходные принципы математики и доказуемы (хотя они в то же время и очевидны), и не суть условные фикции (хотя их можно произвольно комбинировать). То и другое происходит потому, что математические аксиомы коренятся в самом объективном бытии и являются его специфическим отражением, так что никакое их произвольное употребление и комбинирование не в силах разрушить их реального корня в бытии и их «относительность» в силу и в результате человеческой практики всегда может превратиться в абсолютную объективность. Чистая условность математических принципов – ничем и никак не доказанная догматическая метафизика.9

А что касается самой произвольности в выборе аксиом и причудливости возникающих при этом типов пространств, то все эти не только причудливые, но и вполне фантастические, вполне патологические пространства есть то невиннейшее развлечение, которое с легким сердцем может разрешить математикам самый свирепый реалист и материалист. Математики на этих развлечениях оттачивают свои научные методы; и эта умственная эквилибристика есть не только вполне невинное удовольствие, но хотя бы и чисто формально служит прогрессу математической науки. О реальности того или иного пространства судит практика, а не сама геометрия. Но в теоретической науке, вообще говоря, построено очень много истин, объективная реальность которых еще не обнаружена в научной практике. Почему же нам запрещать геометрам строить свои патологические пространства? Однако говорить о чистой условности аксиом и о том, что они всецело зависят от произвольного соглашения, это – очень вредная метафизика и ее надо запретить.

Вопрос об аксиомах в логике и математике, конечно, есть вопрос очень сложный, и мы вовсе не имеем в виду ставить его здесь целиком. Мы могли бы здесь привести известное рассуждение Ленина об условности и безусловности познания, об абсолютной объективной истине и бесконечном приближении к ней человеческого знания и другие марксистско-ленинские принципы логики, теории познания и диалектики. Однако, едва ли можно было бы убедить этих релятивистов и субъективистов ссылкой на марксистско-ленинскую теорию; и потому мы только для самих себя должны отдать полный отчет в том, что современная буржуазная логистика разрывает живую цельность человеческого опыта, где условное и безусловное слиты в одну нераздельную цельность, выхватывает отсюда только одну условность и в таком абстрактном виде абсолютизирует ее в качестве единственно возможной для мышления. Это и есть последовательно проводимая догматическая метафизика.

3. Что же за логика может вырастать при таком подходе к математике?

< 1) >Из математики выхолощена всякая наглядность; математика есть только дискурсивный, формальный вывод из каких-то принципов, и принципы эти – случайны, неопределенны и даже неопределимы, произвольны и вполне относительны. Что это за логика? Уже ясно видно наперед, что это должна быть какая-то очень узкая, очень условная и очень зыбкая логика. И действительно это – какая угодно логика, но только не диалектическая, ибо диалектика связала бы все категории логистики в живую цельность, в которой одна категория без остатка вливалась бы в другую, а здесь это исключено и запрещено раз навсегда. Это – узко-формальная логика, т.е. логика прерывности. Она, как известно, бывает и не только объемной, и логистики всегда давали место в своих работах, напр<имер>, логике отношений. Однако и «логика содержания», и «логика отношений» есть все-таки логика недиалектическая: в основе всего этого лежит прерывная структура схемы, а не непрерывно-целостная структура целого.

2) Однако как ни важна эта методологическая ограниченность логистики, еще важнее для ее характеристики то, что она все время восстает против наглядности. Это не такая простая и невинная вещь, как это может показаться с первого взгляда. Всякая наука живет обобщениями; и в этом не зло, а истина и красота науки. Но бывает общность, которая отражает конкретную наглядность и считается с ней; и бывает общность, заведомо пренебрегающая всем конкретным и наглядным. Если я скажу, что вода – это есть химическое соединение двух частиц водорода и одной кислорода, то это есть оперирование общностями («соединение», «химизм», «частица», «два», «кислород», «водород»), но тут общности имеют своей единственною целью – только понять конкретную наглядность соединений водорода и кислорода в воду. Однако можно сказать так: вода есть отношение между некоторым количеством чего-то и некоторым количеством еще чего-то другого. И при этом можно начать бахвалиться: «Отношение? Какое отношение? Какое хотите. Любое отношение. Некоторое количество? Какое угодно количество! Какое хотите количество, так<ое> и берите. Количество чего-то? Да всего, чего хотите. Что хотите брать, то и берите. Важно только, чтобы нечто было, чтобы оно было взято в каком-нибудь количестве, и – точно так же другое, и чтобы было какое-то отношение между первым и вторым». Так именно поступает логистика, желая дать нам логику математического предмета. Это – несомненно есть операция с общностями. Но ясно, что это обескровленные общности, жалкий скелет живой стихии числа, счета, величин, пространства и т.д. Так что у многих может возникнуть даже вопрос, целесообразно ли вообще заниматься таким пустым предметом.

Следовательно, та логика, которую знает логистика, есть не только узко-формальная, принципиально-недиалектическая логика, но, как логика, принципиально воюющая со всем наглядным, она вообще избегает всякой предметности, не в онтологическом смысле (об этом и говорить нечего), но даже и в логическом смысле, даже по самому смыслу. Другими словами, она тут начинает граничить с беспредметностью почти как с некоторой бессмыслицей. Логистика беспредметна в такой степени, что она не хочет иметь вообще никакого предмета, так что от ее анализа уничтожается то самое, о чем она говорит и что она анализирует. Это превосходит всякий махизм, и с этим не сравнится никакая махистская методика естествознания.10

Одна оговорка, впрочем, является здесь весьма существенной. Чтобы быть вполне справедливым к современной логистике, надо различать самый метод логистики в его объективном значении и ту его догматически-метафизическую интерпретацию, которую он получает у логистиков. Повторяем, общность сама по себе, правильно отражающая объективную реальность, не только не есть зло, но это есть самая сердцевина, самая душа науки. В таких общностях нет ровно ничего субъективистического, нет ничего релятивистского. Такие общности чем общее, тем они глубже и шире охватывают действительность. И если отбросить в современной логистике ее махистскую интерпретацию, если взять ее обобщения как таковые, то часто нужно не только соглашаться с ними, но и удивляться их оригинальности и невольному реализму.

Если мы видим, что 2 ореха в соединении с 3 орехами то же самое, что 3 ореха в соединении с 2 орехами, и если мы замечаем, что 3 пальца плюс 2 пальца то же самое, что 2 пальца плюс 3 пальца, то наше обобщение, что 2 + 3 = 3 + 2 не только возможно или полезно, но оно существенно необходимо, абсолютно научно и может отсутствовать в мышлении только в условиях его патологического состояния. Однако мы совершенно отказываемся понимать, почему это обобщение условно, почему оно неопределенно или неопределимо, почему в нем нет никакой наглядности, почему оно не соответствует никакой реальности, почему оно возникает только в результате произвольного соглашения и т.д., и т.д. Вся эта разложенческая и гниющая «философия» ни во что не верящей буржуазии не имеет никакого отношения к тому законному обобщению, которое мы сейчас формулировали. И если логистика, вместо того чтобы брать те или иные конкретные отношения между конкретными вещами, берет некое А вообще, некое В вообще, некое С вообще и т.д., а также устанавливает между этими А, В, С тоже некое отношение вообще (так что уже становится неважным, что именно солнце нагревает камень, т.е. неважно, что тут речь идет именно о солнце, именно о нагревании и именно нагревании камня, но важно только то, что здесь некое А вообще имеет некое отношение вообще к некоему В вообще), то такого рода обобщение не может не представлять большой научной ценности, и очень хорошо, что логистика этим занимается. Однако мы опять-таки начинаем недоумевать, если мы читаем, что такого рода обобщенное отношение не имеет никакого отношения к бытию, что оно не получено из опыта путем бесконечного ряда наблюдений, что оно есть продукт законов субъективного мышления, что оно есть ничего и ни о чем не говорящая условность и пр.

С точки зрения Ленина, чем обобщение шире и глубже, тем оно больше обнимает фактов, т.е. тем оно конкретнее, реальнее и объективнее. Марксистско-ленинская теория может только приветствовать максимально широкие обобщения при условии соответствия реально наблюдаемым фактам действительности. Очень хорошо, что логистика помогла глубоко вскрыть структуру многих математических понятий и операций, что она углубила и сделала более тонкой теорию множеств и топологию, что она помогла расширить понятие интеграла, установить аксиоматику теории вероятностей, формулировать специфическую логику квантовых процессов (в которой, оказывается, отсутствует дистрибутивный закон для основных логических операций и которая примерно так относится к традиционной логике, как неевклидова геометрия к евклидовой). Но совершенно непостижимо, почему все эти обобщения условны и ненаглядны, почему они не соответствуют никакому бытию и почему это только «знаки», а не сама действительность, и почему эти «знаки» есть результат произвольного соглашения и есть только нечто словесное и фиктивное.

3) Отсюда вытекает и конкретная характеристика метода логистики. Чтобы дать этому методу достойное его название, вдумаемся в то, что тут происходит. Берется математический факт, выбрасывается из него наглядное содержание. Остается его смысловой костяк. Костяк этот анализируется в своем составе. Получаются немногие основные понятия, о значении и смысле которых запрещается говорить; и получаются немногие принципы и аксиомы, которые объявляются недоказуемыми. Что же это такое? Как это возможно? Как возможно доказывать, что дерево не зелено и не большое, не малое, не зная наперед, что такое зелень и что такое размер? Ясно, что опровергать зелень дерева можно только зная, что такое зелень. Дерево зелено, а я вот скажу, что тут «нечто» «включается» в «нечто». Даже формальная логика скажет, что здесь именно «дерево» «включается» в «зелень». Но логистика не хочет говорить и этого. В таком случае на основании чего же она вообще говорит тут о включении некоего А в некое В? Не на основании ли того, что она прекрасно видит именно зеленое дерево? Обобщать тут вы можете сколько угодно; но вы не имеете права говорить, что включение обобщенного А в обобщенное В произошло без наблюдения реальной зелености реальных деревьев.11

По-видимому, основной метод логистики есть не что иное, как сплошное petitio principii, т.е. использование для доказываемого тезиса, именно этого самого тезиса, в качестве основания. Наблюдать, что дерево зелено и потом, на этом основании установить известное отношение между деревом и зеленью, и потом сказать, что для дерева вовсе не характерна зелень, а важно только отношение к чему-то вообще, да заодно выбросить и само дерево и сохранить только «некоторое» отношение неизвестно между чем, это значит совершить petitio principii. Это и есть метод логистики. Так всегда мстит пренебрежение наглядностью и предметностью, ибо сводить наглядность на внутренно-пустой и чисто-рациональный скелет, имея тем самым в виду ее опровергнуть, это можно делать только уже зная, что такое эта наглядность, т.е. тем самым так или иначе ее признавая.

4) Наконец, для метода логистики важно еще одно обстоятельство. Так как логистика здесь есть нечто недиалектическое, т.е. ее категории не находятся в процессе свободного развития12, отражающего свободное развитие бытия, а отражают только некую уродливую фикцию (т.е. отражают лишенный всякой наглядности, обескровленный математический предмет), то логика, осуществляемая логистикой, оказывается бледной тенью самой же математики и при том в ее максимально формалистской интерпретации. Математика объявлена ветвью логики, но это не значит, что логика у логистиков есть наука, независимая от математики и нечто специфически самостоятельное. Ближайшее ее рассмотрение обнаруживает, что она берет только понятия логические. А связь этих понятий продолжает трактовать чисто математически. Иначе и быть не может. Ведь логистики не знают логики как науки о свободно развивающемся мышлении и бытии, как того требует общечеловеческий опыт и фиксирующая этот опыт марксистско-ленинская теория. Логика для них производна. Но откуда, из чего производна? Никакого свободно развивающегося бытия, отражением которого было бы мышление, они не знают. Они знают только математику. Но их математика есть связь и система неизвестно чего; они «не знают», чего именно это есть связь и чего именно система. Тут можно, говорят они, понимать «все, что угодно». В таком случае, о чем же еще можно говорить в логике, как не о математических же связях неизвестно чего? Чисто логических связей логистики не знают, так как для этого нужен анализ категорий как таковых. Следовательно, нужно только выставить вначале это «неизвестно что», т.е. неопределимые понятия и недоказуемые аксиомы, и из них дедуцировать всю математику. Но как раз дедукция-то эта здесь оказывается меньше всего логической, т.е. самостоятельно-категориальной, и больше всего все той же математической, т.е. числовой и количественной; и если то, откуда здесь дедукция, есть все же, в конце концов, математические категории, то вся новость логистики по сравнению с конкретной математикой сводится большею частью к систематизации и упорядочению математического материала, который, возникая стихийно у разных исследователей, в разные времена и в разных местах, отличается, конечно, хаотическим характером. Вполне естественна потребность расположить его в более или менее строгом логическом порядке, – напр<имер>, от наиболее общих принципов к более частным; но тут нисколько не больше логики как самостоятельной науки, чем и в каждом научном рассуждении вообще. Ведь всякая наука должна быть логична, но от этого еще далеко до логики данной науки. Сводить частное к общему, значит, рассуждать логически, но это не значит, строить логику данного сведения. Иначе сведение разных видов энергии к общему единству энергии было бы уже логикой физики; и периодическую систему элементов химии, сводящую развитие атомных весов к единому принципу, тоже надо было бы считать логикой химии или химической логикой. Как учение об единстве энергии или о периодичности элементов есть только физика и химия, но никак не логика (хотя учения эти, конечно, как научные, вполне логичны), точно так же и сведение математики на немногие понятия и аксиомы, как оно не логично само по себе, все же еще не есть логика математики или математическая логика, но есть только сама же математика в ее более строгом и стройном изложении, и больше ничего.13 Однако иначе и не могло получиться, потому что математика здесь объявляется ветвью логики, но сама логика трактуется здесь не специфически, а опять-таки чисто математически.

С марксистско-ленинской точки зрения не существует никакой чистой и абсолютно-самостоятельной логики, т.е. самостоятельной настолько, чтобы она была независима от опыта, чтобы она не отражала определенной ступени его исторического развития и чтобы она не была результатом научного мышления и научных наблюдений того или иного этапа человеческого развития. Поэтому, рассуждая чисто теоретически и безотносительно, можно только приветствовать, что представители отдельных научных дисциплин стараются осознать логику своего реального мышления в области этих дисциплин и тем самым дают материал и для общей логики. Без осознания опыта отдельных наук, с нашей точки зрения, повторяем, не может быть построено никакой общей логики; и самостоятельность такой общей логики возможна только при условии сознательного использования логики отдельных наук и при условии обобщения того, что эмпирически делается в отдельных науках.

Однако, во-первых, это совершенно не значит, что отдельные науки должны быть ветвями логики. Осознать в обобщенной форме отдельную науку и превратить ее из хаотической массы отдельных наблюдений и законов в строгое и последовательное целое – это совершенно не значит превратить данную науку в логику, т.е. что математика у нас есть ветвь логики, что механика есть тоже логика, что физика есть логика и т.д.

Во-вторых, зависимость общей логики от отдельных наук не означает также и того, что отдельные науки со своей специфической логикой могут претендовать на универсальное значение. Если мы, напр<имер>, изложили геометрию со строгим учетом исходных аксиом и постулатов и с учетом того, к чему обязывает или не обязывает в геометрии каждая такая отдельная аксиома и каждый такой отдельный постулат, то это только логически построенная и изложенная геометрия, а поскольку геометрия, как и всякая наука, должна быть логически последовательной, то аксиоматическая разработка геометрии есть просто сама же геометрия в ее научном виде, и – больше ничего. Это просто хорошая геометрия, геометрия как наука, геометрия как система, а не логика геометрии; и претендовать на какое-нибудь выхождение за собственные пределы такая геометрия никак не может. Однако, если бы мы даже и признали аксиоматику геометрии логикой геометрии, то и в этом случае не будет никаких оснований считать геометрическую логику логикой вообще. Для этого нужны были бы уже негеометрические обобщения геометрии, и своими только одними геометрическими силами геометрия со всей ее аксиоматикой не могла бы создать такого обобщения. Поэтому является весьма провинциальным и доморощенным предприятием именовать книгу «Основами теоретической логики», давая в ней только одну математическую логику. Не существует никакой абсолютно-чистой логики, и марксистско-ленинская теория хотела бы использовать для построения общей логики также и логику математическую наряду с логикой всех отдельных дисциплин, ибо для диалектического материализма истина конкретна. Но математическая логика в ее теперешнем виде слишком абсолютизирует себя, и использовать ее в таком виде совершенно невозможно. Использовать ее можно только после коренной чистки.

Итак, логистика есть логика – 1) антидиалектическая, 2) принципиально беспредметная, 3) использующая для доказательства своих тезисов сами же эти тезисы, 4) с применением чисто-математических же, но не специально логических методов.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

Лосев А. Критические заметки о буржуазной математической логике
Категорию логического мышления гильберт