<<<     ΛΛΛ     >>>   

Бета. Я полагаю, сэр, что вы намереваетесь объяснить ваши несколько парадоксальные замечания. Принося вам всяческие извинения за мою нетерпеливость, я все же должен избавиться от их тяжести.
Учитель. Продолжайте.
(Альфа возвращается.)
Бета. Хотя некоторые положения из аргументов Дельты не кажутся мне умными, но я все-таки прихожу к убеждению, что в них есть разумное зерно. Теперь, мне кажется, что ни одно из предположений не является правильным вообще, но только в некоторой ограниченной области, которая не содержит исключений. Я против того, чтобы называть эти исключения «монстрами», или «патологическими случаями». По существу это равносильно методологическому требованию не рассматривать их как примеры интересные, имеющие право на самостоятельное существование и заслуживающие специального исследования. Но я также против термина «контрапример»; хотя это и дает право принимать их на равной ноге с подтверждающими примерами, но как-то окрашивает их в военные цвета, так что некоторые, вроде Гаммы, при их виде приходят в панику и впадают в соблазн совсем отказаться от прекрасных и остроумных доказательств. Нет, они являются только исключениями.
Сигма. Я более чем согласен. Термин «контрапример» имеет агрессивный оттенок и оскорбляет тех, кто нашел доказательство. «Исключение» — это как раз правильное выражение. «Существуют три рода математических предложений:
1. Те, которые являются всегда справедливыми и для которых нет пи ограничений, ни исключений, например, сумма углов всех плоских треугольников всегда равна двум прямым.
2. Те, которые основаны на некотором ложном принципе и, следовательно, никак не могут быть допущены.
3. Те, которые зависят от правильных принципов, но тем не менее в некоторых случаях допускают ограничения или исключения…»
Эпсилон. Что?
Сигма . «… Не должно смешивать ложные теоремы с теоремами, допускающими некоторые ограничения», Как говорит пословица: исключения подтверждают правило.
Эпсилон (к Каппе). Кто этот путаник? Ему следовало бы немного поучиться логике.
Каппа (к Эпсилону). И узнать кое-что об неевклидовых плоских треугольниках.
Дельта. Хотя мне и трудно, но я должен предсказать, что в этой дискуссии, вероятно, я и Альфа окажемся на одной стороне. Мы оба аргументировали, исходя из той основы, что предложение может быть или ложным или правильным, и расходились лишь в том, будет ли, в частности, правильной или ложной эйлерова теорема. Но Сигма хочет, чтобы мы допустили третью категорию предложений, которые «в принципе» верны, но «в некоторых случаях допускают исключения». Согласиться с мирным сосуществованием теорем и исключений, значит допустить в математике хаос и смуту.
Альфа. Согласен.
Эта. Я не хотел мешать блестящей аргументации Дельты, но теперь я думаю, что, может быть, будет полезно, если я кратко расскажу историю моего интеллектуального развития. В мои школьные годы я сделался, как вы сказали бы, устранителем монстров не для защиты против людей типа Альфы, но для защиты против типа Сигмы. Я припоминаю прочитанное в журнале относительно теоремы Эйлера: «Блестящие математики предложили доказательства всеобщей правильности этой теоремы. Однако она допускает исключения… Необходимо обратить внимание на эти исключения, так как даже новейшие авторы не всегда ясно признают их». Эта статья не была изолированным дипломатическим упражнением. «Хотя в учебниках и лекциях по геометрии всегда указывается, что прекрасная теорема Эйлера V+F=E+2 в некоторых случаях имеет «ограничения», или «не кажется правильной», но еще никто не узнал истинной причины этих исключений» . Я очень внимательно рассмотрел эти «исключения» и пришел к выводу, что они не соответствуют правильному определению рассматриваемых предметов. Таким образом, можно восстановить в правах доказательство теоремы; тогда хаотическое сосуществование теорем и исключений исчезнет.
Альфа. Хаотическая позиция Сигмы может служить объяснением вашего устранения монстров, но никак не извинением, не говоря уже об оправдании. Почему не исключить хаос принятием верительных грамот контрапримера и отбросить и «теорему» и «доказательство»?
Эта. А почему я должен отбрасывать доказательство? Я не могу видеть в нем ничего неправильного. А вы можете? Мое устранение монстров мне кажется более рациональным, чем ваше устранение доказательств.
Учитель. Наши дебаты показали, что устранение монстров может получить более симпатизирующую аудиторию, если оно будет исходить из дилеммы Эты. Но вернемся к Бете и Сигме. Ведь это Бета перекрестил контрапримеры в исключения. Сигма согласился с Бетой…
Бета. Я рад, что Сигма согласился со мной, но боюсь, что я не могу согласиться с ним. Конечно, существуют три типа предложений: правильные, безнадежно неправильные и неправильные, но подающие надежду. Этот последний вид может быть улучшен и возведен в степень правильных при помощи добавления ограничивающих положений, устанавливающих исключения. Я никогда не «приписываю формулам неограниченную область правильности. В действительности большая часть формул справедлива только при выполнении некоторых условий. Определение этих условий и, конечно, уточнение смысла употребляемых терминов заставляют у меня исчезать всякую неопределенность». Как видите, я не являюсь сторонником любой формы мирного сосуществования между неисправленными формулами и исключениями. Я исправляю мои формулы и делаю их совершенными, вроде стоящих в первом классе Сигмы. Это значит, что я принимаю метод устранения монстров, поскольку он может служить для установления области правильности первоначальной догадки; но отбрасываю его, если он действует как лингвистический трюк для спасения «изящных» теорем при помощи ограничивающих положений. Эти два вида функционирования метода Дельты должны быть строго разделены. Мой метод, для которого характерен только первый способ функционирования, мне хотелось бы назвать «методом устранения исключений». Я буду использовать его для точного определения области, в которой является правильной догадка Эйлера.
Учитель. Какую же «точно определенную область» эйлеровых многогранников вы обещаете нам? И какова ваша «совершенная формула»?
Бета. Для всех многогранников, не имеющих полостей (вроде пары куб в кубе) и туннелей (как рама картины), V - Е + F = 2.
Учитель. Вы уверены?
Бета. Да, вполне.
Учитель. А как быть с тетраэдрами-близнецами?
Бета. Извините. Для всех многогранников, которые не имеют полостей, туннелей и «кратной структуры» .
Учитель. Вижу. Я согласен с тем, что вы исправляете догадку, вместо того чтобы просто принять или не принять ее. Я считаю, это лучше и метода устранения монстров, и метода сдачи. Однако у меня есть два возражения. Во-первых, я оспариваю вашу уверенность в том, что ваш метод не только улучшает, но даже «совершенствует» догадку, что он делает ее «строго правильной», что он «заставляет исчезнуть все неопределенности», Но ad hoc-ность вашего метода уничтожает его шансы на достижение уверенности в истине.
Бета. В самом деле?
Учитель. Вы должны допустить, что каждая новая версия вашего предположения является лишь придуманным ad hoc средством исключения только что возникшего контрапримера. Когда вы напали на куб в кубе, вы исключили многогранники с полостями. Когда вам удалось заметить картинную раму, вы исключили многогранники с туннелями. Я ценю ваш открытый и наблюдательный ум; заметить все эти исключения, конечно, очень хорошо, но я думаю, что все же стоило бы внести некоторый метод в ваше слепое отыскивание «исключения». Хорошо, допустим, что положение «все многогранники являются эйлеровыми» является только догадкой. Но зачем же статус теоремы, которая более уже не является догадкой, давать положению, что «все многогранники без полостей, туннелей и еще чего-нибудь являются эйлеровыми»? Как вы можете быть уверенным, что перечислили все исключения?
Бета. Можете ли дать одно, которое я не учел бы?
Альфа. А что вы скажете о моем «морском еже»?
Гамма. И о моем цилиндре?
Учитель. Мне даже не нужно какое-нибудь конкретное новое «исключение» для моей аргументации. Мой аргумент касается только возможности дальнейших исключений.
Бета. Конечно, вы, может быть, правы. Не нужно сразу менять своей позиции при появлении какого-нибудь нового контрапримера. Не нужно говорить: «Если в явлениях не находится ни одного исключения, то заключение может быть высказано в общем смысле. Но если в дальнейшем появится какое-нибудь исключение, то тогда можно будет начать высказывать его с тем исключением, которое появилось»[41]. Дайте подумать. Сначала мы высказали догадку, что V-E+F = 2 годится для всех многогранников, потому что мы нашли его верным для кубов, октаэдров, пирамид и призм. Мы, конечно, не можем принять «этот несчастный путь заключения от частного к общему». Ничего нет удивительного в том, что исключения появляются; скорее поразительно то, что раньше их не было найдено много больше. По-моему, это произошло оттого, что мы главным образом занимались выпуклыми многогранниками. Как только появились другие многогранники, так наше обобщение уже перестало годиться.
Так, вместо постепенного отбрасывания исключений я скромно, но с надежностью проведу граничную линию — «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми». И я надеюсь, вы согласитесь, что в этом нет ничего гадательного, это уже будет теоремой.
Гамма. А как с моим цилиндром? Ведь он выпуклый?
Бета. Это шутка!
Учитель. Забудем на момент об этом цилиндре. Некоторые критические замечания можно выставить даже и без цилиндра. В этой новой видоизмененной версии метода устранения исключений, который так бодро выдумал Бета в ответ на мою критику, постепенный отход заменен стратегическим отступлением в область, которая, как думают, для данной догадки будет твердыней. Вы стремитесь к безопасности. Но так ли вы безопасны, как думаете? У вас нет никаких гарантий, что внутри вашей твердыни но найдется никаких исключений. Кроме того, есть и противоположная опасность. Может быть, вы слишком радикально отступили, оставив за стеной большое количество эйлеровых многогранников? Наша первоначальная догадка могла быть чрезмерным утверждением, но ваш «усовершенствованный» тезис, по-моему, очень сильно смахивает на утверждение с недостатком; и все же вы не можете быть уверены, что он также не будет чрезмерным утверждением.
Мне также хотелось бы выставить мое второе возражение: вы в своей аргументации забываете о доказательстве; делая предположение относительно области правильности догадки, по-видимому, вы совсем не нуждаетесь в доказательстве. Конечно, вы не думаете, что доказательства являются излишними?
Бета. Этого я никогда не говорил.
Учитель. Да, этого вы не сказали. Но вы открыли, что наше доказательство не доказывает нашей первоначальной догадки. А будет ли оно доказывать вашу исправленную догадку? Скажите же мне это35.
Бета. Ну…
Эта. Благодарю вас, сэр, за этот аргумент. Смущение Беты ясно обнаруживает превосходство опороченного метода устранения уродств. Ведь мы говорим, что доказательство доказывает то, что было предложено доказать, и наш ответ совершенно недвусмыслен. Мы не позволяем своенравным контрапримерам свободно уничтожать респектабельные доказательства, даже если они переодеваются в скромные «исключения».
Бета. Я ничуть не смущен тем, что мне приходится разработать, исправить и — извините меня, сэр,— усовершенствовать мою методологию под стимулом критики. Мой ответ таков. Я отбрасываю первоначальную догадку как ложную, потому что для нее имеются исключения. Также я отбрасываю и доказательство, потому что те же исключения, по крайней мере для одной из лемм, будут тоже исключениями (по вашей терминологии это значит, что глобальный контрапример является необходимо и локальным). Альфа остановился бы на этом месте, так как опровержения, по-видимому, вполне удовлетворяют его интеллектуальным способностям. Но я иду дальше. Подходящим ограничением сразу и догадки и доказательства их собственной областью я совершенствую догадку, которая теперь становится истинной, и совершенствую в своей основе здравое доказательство, которое становится теперь строгим и, очевидно, уже не будет содержать ложных лемм. Например, мы видели, что не все многогранники после устранения одной грани могут быть растянуты на плоскости в плоскую фигуру. Но это может быть сделано со всеми выпуклыми многогранниками. Поэтому мою усовершенствованную и строго доказанную догадку я имею право назвать теоремой. Я снова формулирую ее: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми». Для выпуклых многогранников все леммы будут, очевидно, истинными и доказательство, которое в его ложной всеобщности не было строгим, в ограниченной области выпуклых многогранников станет строгим. Итак, сэр, я ответил на ваш вопрос.
Учитель. Итак, леммы, которые когда-то выглядели очевидно истинными до открытия исключения, будут опять выглядеть очевидно истинными, …пока не открыто новое исключение. Вы допускаете, что положение: «Все многогранники являются эйлеровыми» было догадкой; вы только что допустили, что «Все многогранники без полостей и туннелей являются эйлеровыми» было тоже догадкой, почему же не допустить, что «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми» может тоже оказаться догадкой!
Бета. На этот раз не догадкой, а интуицией!
Учитель. Я ненавижу вашу претенциозную «интуицию». Я уважаю сознательную догадку, потому что она происходит от лучших человеческих качеств: смелости и скромности.
Бета. Я предложил теорему: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми». Против нее вы произнесли речь. Можете ли вы предложить контрапример?
Учитель. Вы не можете быть уверены, что я этого не сделаю. Вы улучшили первоначальную догадку, но вы не можете требовать признания, что усовершенствовали эту догадку, чтобы достичь совершенной строгости в вашем доказательстве.
Бета. А вы это можете?
Учитель. Я тоже не могу. Но я думаю, что мой метод улучшения догадок будет улучшением вашего, так как я установлю единство, настоящее взаимодействие между доказательствами и контрапримерами.
Бета. Я готов учиться.

Ро. Сэр, могу я мимоходом сказать несколько слов?
Учитель. Пожалуйста.
Ро. Я согласен, что мы должны отбросить данный Дельтой метод устранения монстров как общий методологический подход, потому что этот метод не рассматривает монстры серьезно. Бета тоже не рассматривает свои «исключения» серьезно; он просто составляет их список, а потом уходит в безопасную область. Таким образом, оба эти метода интересны только в ограниченном, привилегированном поле. Мой метод не практикует дискриминации. Я могу показать, что «при более пристальном рассмотрении исключения становятся лишь кажущимися и теорема Эйлера сохраняет свою силу даже для так называемых исключений» .
Учитель. В самом деле?
Альфа. А как может быть обыкновенным эйлеровым многогранником мой третий контрапример «морской еж»? (См. рис. 7.) В качестве граней он имеет 12 звездчатых пятиугольников.
Ро. Я не Вижу никаких «звездчатых пятиугольников». Разве вы не видите, что в действительности этот многогранник имеет обыкновенные треугольные грани. Их всего 60. Он имеет также 90 ребер и 32 вершины. Его «эйлерова» характеристика равна 2 [47]. Двенадцать «звездчатых пятиугольников», их 30 «ребер» и 12 «вершин», дающих характеристику 6, существуют только в. вашей фантазии. Существуют не монстры, а только монстролюбивые толкования. Нужно очистить свой ум от извращенных иллюзий, надо научиться видеть и правильно определять, что видишь. Мой метод терапевтический: там где вы — ошибочно — «видите» контрапример, я учу вас узнавать — правильно — простой пример. Я исправляю ваше монстролюбивое зрение.
Альфа. Сэр, пожалуйста, объясните ваш метод, прежде чем Ро выстирает наши мозги[49].
Учитель. Пусть он продолжает.
Ро. Я уже высказал, что хотел.
Гамма. Не могли бы вы поговорить подробнее относительно вашей критики метода Дельты? Вы оба заклинали монстров…
Ро. Дельта попался в плен ваших галлюцинаций. Он согласился, что наш «морской еж» имеет 12 граней, 30 ребер и 12 вершин и не является эйлеровым. Его тезис заключался в том, что «морской еж» даже не является многогранником. Но он ошибся в том и другом смысле. Ваш «морской еж» является и многогранником и притом эйлеровым. Но его звездчато-многогранное понимание было неправильным толкованием. С вашего разрешения, это не воздействие «морского ежа» на здоровый чистый ум, но искаженное воздействие на больной ум, корчащийся в муках.
Каппа. Но как вы можете отличать здоровые мозги от больных, рациональные толкования от уродливых?
Ро. А меня только удивляет, как вы можете их смешивать.
Сигма. А вы, Ро, действительно думаете, что Альфа никогда не замечал, что его «морской еж» мог быть истолкован как треугольный многогранник? Конечно, он мог это заметить. Но более внимательный взгляд открывает, что эти треугольники всегда лежат по пяти в одной плоскости и окружают в телесном угле правильный пятиугольный тайник — как бы их сердце. Но пять правильных пятиугольников составляют так называемую пентаграмму, которая, по словам Теофраста Парацельза, была знаком здоровья…
Ро. Суеверие!
Сигма. И вот таким образом для здорового ума открывается тайна «морского ежа»: это новое до сих пор еще неведомое правильное тело с правильными гранями и равными телесными углами, красота симметрии которого может открыть нам тайны всеобщей гармонии…
Альфа. Благодарю вас, Сигма, за вашу защиту, которая еще раз убеждает меня, что оппоненты могут причинить меньше помех, чем союзники. Конечно, мою многогранную фигуру можно толковать или как треугольный или как звездчатый многогранник. Я согласен одинаково допустить оба толкования…
Каппа. Вы согласны?
Дельта. Но, конечно, одно из них будет истинным толкованием.
Альфа. Я согласен одинаково допустить оба толкования, но одно из них наверняка будет глобальным контрапримером для догадки Эйлера. Зачем же допускать только то толкование, которое «хорошо подходит» к предвзятым мнениям Ро? Во всяком случае, сэр, не объясните ли вы нам теперь ваш метод?

Учитель. Вернемся к раме картины. Во-первых, я признаю, что она является настоящим глобальным контрапримером для эйлеровой догадки, а также настоящим локальным контрапримером для первой леммы моего доказательства.
Гамма. Извините меня, сэр, но каким образом рама картины опровергает первую лемму?
Учитель. Выньте сначала одну грань, а потом попробуйте растянуть ее в плоскую фигуру на доске. Вам это не удастся.
Альфа. Чтобы помочь вашему воображению я скажу, что после вынимания грани вы можете растянуть оставшееся на доске у тех и только тех многогранников, которые надуванием возможно превратить в шар.
Очевидно, что такой «сферический» многогранник можно растянуть на плоскости, когда одна грань будет вынута; также очевидно, что и, наоборот, если многогранник без одной грани можно растянуть на плоскости, то вы можете согнуть его так, чтобы он мог обтянуть круглый сосуд, который затем можно закрыть недостающей гранью, и таким образом получить сферический многогранник. Но нашу картинную раму никак нельзя надуть так, чтобы она обратилась в шар; она может обратиться только в тор.
Учитель. Хорошо. Теперь вопреки Дельте я принимаю эту картинную раму в качестве критики для догадки. Поэтому я устраняю как ложную первоначальную форму догадки, но сразу же выдвигаю видоизмененную ограничивающую версию, а именно догадка Декарта — Эйлера справедлива для «простых» многогранников, т. е. для таких, которые после выемки одной грани могут быть растянуты на плоскости. Таким образом, из первоначальной гипотезы мы кое-что спасли. Мы имеем: эйлерова характеристика простого многогранника равна 2. Этот тезис не может быть опровергнут ни кубом в кубе, ни тетраэдрами-близнецами или звездчатыми многогранниками, так как ни одно из этих тел не будет «простым». Таким образом, если метод устранения исключений уменьшал область применимости основной догадки и подозрительной леммы, сводя их к общей безопасной области, и поэтому принимал контрапример как критику и основной догадки и доказательства, то мой метод включения лемм сохраняет доказательство, но ограничивает область правильности основной догадки, сводя ее к истинной области подозрительной леммы. Иначе, если контрапример, являющийся одновременно и глобальным и локальным, заставлял устрани теля исключений пересмотреть как леммы, так и первоначальную догадку, то меня он заставляет пересмотреть первоначальную догадку, но не леммы. Вы понимаете?
Альфа. Думаю, что да. Для доказательства, что я понимаю, я опровергну вас
Учитель. Мой метод или мою исправленную догадку?
Альфа. Вашу исправленную догадку.
Учитель. Тогда может быть вы все же не понимаете моего метода. Но давайте ваш контрапример.
Альфа. Рассмотрим куб с маленьким кубом, поставленным сверху (рис. 12). Это согласно со всеми нашими определениями (определения 1, 2, 3, 4, 4'). Следовательно, это будет настоящим многогранником. И он «простой», так как может быть растянут на плоскости. Таким образом, согласно вашей исправленной догадке, его эйлерова характеристика должна быть равна 2. Тем не менее он имеет 16 вершин, 24 ребра и 11 граней, и его эйлерова характеристика будет 16—24 + 11 = 3. Это будет глобальным контрапримером для вашей исправленной догадки и также, между прочим, для первой теоремы Беты, «устраняющей исключения». Этот многогранник не будет эйлеровым, хотя он не имеет ни полостей, ни туннелей, ни кратной структуры.
Дельта. Этот увенчанный куб назовем контрапримером 6 .
Учитель. Вы сделали ложной мою исправленную догадку, но не уничтожили моего метода улучшения. Я снова пересмотрю доказательство и постараюсь узнать, почему оно не подходит к вашему многограннику. В доказательстве должна быть еще одна неправильная лемма.
Бета. Ну, конечно, так и есть. Я всегда подозревал вторую лемму. Она предполагает, что в триангуляционном процессе, проводя новое диагональное ребро, вы всегда увеличиваете на единицу числа и ребер и граней. Это неверно. Если мы посмотрим на плоскую сетку нашего увенчанного куба, то найдем кольцеобразную грань (рис. 13, а). В этом случае одно диагональное ребро не увеличит числа граней (рис. 13, б); нужно увеличить число ребер на два, чтобы число граней увеличилось на единицу (рис. 13, в).
Учитель. Примите мои поздравления. Я, конечно, должен еще больше ограничить нашу догадку…
Бета. Я знаю, что вы хотите сделать. Вы скажете, что простые многогранники с треугольными гранями будут эйлеровыми. Вы сохраните триангуляционный процесс и включите эту лемму в условия.
Учитель. Нет, вы ошибаетесь. Прежде чем конкретно указать вашу ошибку, мне хочется остановиться на вашем методе устранения исключений. Когда вы сводите вашу догадку к «безопасной» области, вы по-настоящему не рассматриваете доказательства и действительно для вашей цели это не нужно. Вам достаточно будет лишь сделать небрежное замечание, что в вашей ограниченной области будут справедливы все леммы, какими бы они ни были. Но для меня этого недостаточно. Ту самую лемму, которая была опровергнута контрапримером, я встраиваю в догадку, так что мне нужно отметить ее и сформулировать насколько возможно точно на основании тщательного анализа доказательства. Таким образом, опровергнутая лемма включается в исправленную догадку. Ваш метод не заставляет вас производить очень трудную разработку доказательства, так как в вашей исправленной догадке доказательство не появляется, как в моей. Теперь я возвращаюсь к вашему теперешнему замечанию. Опровергнутая кольцеобразной гранью лемма не формулировалась, как вы, по-видимому, думаете, что «все грани треугольны», но что «всякая грань, рассеченная диагональным ребром, распадается на две части». Вот эту-то лемму я и превращаю в условие. Удовлетворяющие ему грани я называю «односвязными» и могу сделать второе улучшение моей первоначальной догадки: «для простого многогранника, у которого все грани односвязны, V — Е + F = 2». Причина вашего быстрого неправильного утверждения заключалась в том, что ваш метод не приучил вас к тщательному анализу доказательства. Этот анализ бывает иногда довольно тривиальным, но иногда действительно очень труден.
Бета. Я понимаю вашу идею. Я тоже должен добавить самокритическое замечание к вашим словам, так как мне кажется, что они открывают целый континуум положений для устранения исключений. В самом худшем случае просто устраняются некоторые исключения и не обращается никакого внимания на доказательство. Мистификация получается, когда мы отдельно имеем доказательство и также отдельно исключения. В мозгу таких примитивных устранителей исключений доказательства и исключения помещаются в двух совершенно разделенных помещениях. Другие могут теперь указать, что доказательство будет действительным только в ограниченной области, в чем, по их мнению, и заключается раскрытие тайны. Но все же их «условия» для идеи доказательства будут посторонними. Лучшие устранители исключений бросают беглый взгляд на доказательство и, как я в настоящую минуту, получают некоторое вдохновение для формулировки условий, определяющих безопасную область. Самые лучшие устранители исключений производят тщательный анализ доказательства и на этом основании дают очень тонкое ограничение запрещенной площади. В этом отношении наш метод действительно представляет предельный случай метода устранения исключений…
Йота …и обнаруживает фундаментальное диалектическое единство доказательств и опровержений.
Учитель. Я надеюсь, что теперь вы все видите, что доказательства, хотя иногда правильно и не доказывают, но определенно помогают исправить (improve) нашу догадку[57]. Устранители исключений тоже исправляли ее, но исправление было независимым от доказательства (proving). Наш метод исправляет доказывая (improves by proving). Внутреннее единство между «логикой открытия» и «логикой оправдания» является самым важным аспектом метода инкорпорации лемм.
Бета. И, конечно, теперь я понимаю ваши предыдущие удивившие меня замечания, что вы не смущаетесь, если догадка будет одновременно и «доказана» и опровергнута, а также, что вы готовы доказать даже неправильную догадку.
Каппа (в сторону). Но зачем же называть «доказательством» (proof) то, что фактически является «исправлением» (improof) ?
Учитель. Обратите внимание, что немногие люди захотят разделить эту готовность. Большая часть математиков вследствие укоренившихся эвристических догм неспособны к одновременному доказательству и опровержению догадки. Они будут или доказывать, или опровергать ее. В особенности они не способны опровержением исправлять догадки, если эти последние будут их собственными. Они хотят исправлять свои догадки без опровержений; о ни никогда не уменьшают неправильности, по непрерывно увеличивают истинность; таким образом рост знания они очищают от ужаса контрапримеров. Может быть, это и является основой подхода лучшего сорта устранителей исключений; они начинают со «стремления к безопасности» и придумывают доказательство для «безопасной» области, а продолжают работу, подвергая это доказательство глубокому критическому исследованию, испытывая, использовали ли они все поставленные условия. Если этого нет, то они «заостряют» или «обобщают» первую скромную версию их теоремы, т. е. выделяют леммы, от которых зависит доказательство, и инкорпорируют их. Например, после одного или двух контрапримеров они могут сформулировать устраняющую исключения предварительную теорему: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми», откладывая невыпуклые объекты для cura posterior (дальнейшей работы - Лат.); затем они изобретают доказательство Коши и тогда, открывши, что выпуклость не была реально «использована» в доказательстве, они строят теорему, включающую леммы. Нет ничего эвристически нездорового в процедуре, которая соединяет предварительное устранение исключений с последовательным анализом доказательства и включением лемм.
Бета. Конечно, эта процедура не уничтожает критику, она только отталкивает ее на задний план; вместо прямой критики чрезмерных утверждений критикуются недостаточные утверждения.
Учитель. Я очень рад, Бета, что убедил вас. А как вы, Ро и Дельта, думаете насчет этого?
Ро. Что касается меня, то я совершенно определенно думаю, что проблема кольцеобразных граней является псевдопроблемой. Она происходит от чудовищного истолкования того, что представляют грани и ребра этого соединения двух кубов в один, который вы назвали «увенчанным кубом».
Учитель. Объясните.
Ро. «Увенчанный куб» представляет многогранник, состоящий из двух кубов, припаянных один к другому. Вы согласны?
Учитель. Не возражаю.
Ро. Тогда вы неправильно понимаете термин «припаянный». «Припой» состоит из ребер, связывающих вершины нижнего квадрата маленького куба с соответствующими вершинами верхнего квадрата большого куба. Поэтому вообще не существует никаких кольцеобразных граней.
Бета. Кольцеобразная грань здесь существует! Рассекающих ребер, о которых вы говорите, здесь нет!
Ро. Они только скрыты от вашего ненатренированного глаза (рис. 14, в) …
Бета. Неужели вы думаете, что мы всерьез примем ваши аргументы? Я вижу здесь только суеверие, а ваши «скрытые» ребра неужели это реальность?
Ро. Посмотрите на этот кристалл соли. Скажете ли вы, что это куб?
Бета. Конечно.
Ро. Куб имеет 12 ребер, не так ли?
Бета. Да, имеет.
Ро. Но на этом кубе вообще нет никаких ребер. Они скрыты. Они появляются только в нашей рациональной реконструкции.
Бета. Я подумаю насчет этого. Ясно только одно. Учитель критиковал мою самоуверенную точку зрения, что мой метод приводит к определенности, а также то, что я забыл о доказательствах. Эта критика вполне подойдет и к вашему «исправлению монстров», и к моему «устранению ошибок».
Учитель. А как вы, Дельта? Как вы будете заклинать кольцеобразные грани?
Дельта. Я не буду. Вы обратили меня в вашу веру. Я только удивляюсь, почему вы не добиваетесь полной уверенности и не включаете также и пренебреженную третью лемму? Я предлагаю четвертую и, надеюсь, окончательную формулировку: «эйлеровыми являются все многогранники, которые будут (а) простыми, (b) имеют только односвязные грани и (с) таковы, что треугольники плоской треугольной сети, полученной после растягивания на плоскости и триангулирования, могут быть так перенумерованы, что при устранении их в определенном порядке V—E+F не изменится до достижения последнего треугольника». Я удивляюсь, почему вы не предложили этого сразу. Если вы действительно принимаете серьезно ваш метод, то вы все леммы должны превратить непосредственно в условия. Почему такое «постепенное построение»?
Альфа. Консерватор обратился в революционера! Ваш совет кажется мне слишком утопичным. Потому что ровно трех лемм не существует. А то почему бы не добавить вместе со многими другими еще и такие: (4) «если 1 + 1 = 2» и (5) «если все треугольники имеют три вершины и три угла», так как мы, конечно, эти леммы тоже используем? Я предлагаю в условия превратить только те леммы, для которых был найден контрапример.
Гамма. Мне кажется, что принять это в качестве методологического правила будет слишком оппортунистичным. Включим в целое только те леммы, против которых мы можем ожидать контрапримера, т. е. такие, которые, очевидно, не будут несомненно истинными.
Дельта. Ну, хорошо, кажется ли кому-нибудь вполне очевидной наша третья лемма? Превратим ее в третье условие.
Гамма. А что если операции, выраженные леммами нашего доказательства, не будут все независимыми? Если выполнимы некоторые из этих операций, то может случиться, что и остальные будут необходимо выполнимыми. Я например, подозреваю, что если многогранник простой, то всегда существует такой порядок устранения треугольников в получающейся плоской сети, что V — Е + F не изменяется. А если так, то инкорпорирование в догадку первой леммы избавит нас от инкорпорирования третьей.
Дельта. Вы считаете, что первое условие предполагает третье. Можете ли вы доказать это?
Эпсилон. Я могу.
Альфа. Действительное доказательство, как бы оно интересно ни было, не может помочь нам в решении нашей задачи: как далеко должны мы идти в исправлении нашей догадки? Охотно допускаю, что вы действительно имеете такое доказательство, как говорите, но это только заставит нас разложить эту третью лемму на несколько новых подлемм. Должны ли мы и их превратить в условия? Где же тогда мы остановимся?
Каппа. В доказательствах существует бесконечный спуск; поэтому доказательства не доказывают. Вы должны понять, что доказывание представляет игру, в которую играют, пока это доставляет удовольствие, и прекращают, когда устанешь.
Эпсилон. Нет, это не игра, а серьезное дело. Бесконечный спуск может быть задержан тривиально истинными леммами, которые уже не надо превращать в условия.
Гамма. Вот я как раз так и думаю. Мы не обращаем в условия те леммы, которые могут быть доказаны на основании тривиально истинных принципов. Также мы не инкорпорируем те леммы, которые могут быть доказаны (возможно с помощью таких тривиально истинных принципов) на основании ранее установленных лемм.
Альфа. Согласен. Мы можем прекратить исправление нашей догадки после того, как превратим в условия эти две нетривиальные леммы. Я действительно думаю, что такой метод исправления при помощи включения лемм не имеет недостатков. Мне кажется, что он не только исправляет, но даже совершенствует догадку. И я отсюда узнал нечто важное, а именно, что неправильно будет утверждать, что целью «задачи на доказательство» является заключительный показ, будет ли некоторое ясно сформулированное утверждение истинным или что оно будет ложным[61]. Настоящей целью «задачи на доказательство» должно быть исправление — фактически усовершенствование — первоначальной «наивной» догадки в подлинную «теорему». Нашей наивной догадкой была: «Все многогранники являются эйлеровыми».
Метод устранения монстров защищает эту наивную догадку при помощи истолкования ее терминов таким образом, что под конец мы получаем теорему, устраняющую монстры: «Все многогранники являются эйлеровыми». Но тождественность лингвистических выражений наивной догадки и теоремы, устраняющей монстры, кроме тайных изменений в смысле терминов, скрывает и существенное улучшение.
Метод устранения исключений вводит элемент, являющийся фактически чуждым аргументации: выпуклость. Устраняющая исключения теорема была: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми».
Метод включения лемм основывался на аргументации, т.е. на доказательстве — и ни на чем другом. Он как бы резюмирует доказательство в теореме, включающей леммы: «Все простые многогранники с односвязными гранями являются эйлеровыми».
Это показывает, что (теперь я употребляю термин «доказывание» в традиционном смысле) человек не доказывает того, что он намеревался доказать. Поэтому ни одно доказательство не должно кончаться словами: «Quod erat demonstrandum».
Бета. Одни говорят, что в порядке открытия теоремы предшествуют доказательствам: «Прежде чем доказать теорему, надо угадать ее». Другие отрицают это и считают, что открытие совершается путем вывода заключений из специально установленного ряда предпосылок и выделения интересных заключений, если нам посчастливится найти их. Или, если использовать прекрасную метафору одного из моих друзей, некоторые говорят, что эвристическое «застегивание молнии» в дедуктивной структуре идет снизу — от заключения — кверху —- к посылкам, другие же говорят, что оно идет вниз — от вершины ко дну. Как думаете вы?
Альфа. Что ваша метафора неприложима к эвристике. Открытие не идет ни вниз, ни вверх, но следует по зигзагообразному пути: толкаемое контрапримерами, оно движется от наивной догадки к предпосылкам и потом возвращается назад, чтобы уничтожить наивную догадку и заменить ее теоремой. Интуитивная догадка и контрапримеры не выявляются во вполне готовой дедуктивной структуре: в окончательном продукте нельзя различить зигзаг открытия.
Учитель. Очень хорошо. Однако добавим из осторожности, что теорема не всегда отличается от наивной догадки. Мы не всегда обязательно исправляем доказывая. Доказательства могут исправлять, когда их идея открывает в наивной догадке неожиданные аспекты, которые потом появляются в теореме. Но в зрелых теориях так может и не быть. Так наверняка бывает в молодых растущих теориях. Первичной характеристикой последних является именно это переплетение открытия и подтверждения, исправления и доказательства.
Каппа (в сторону). Зрелые теории могут быть омоложены. Открытие всегда заменяет подтверждение.
Сигма. Эта классификация соответствует моей. Первый вид моих предложений был зрелого типа, третий же растущего…

5. Критика анализа доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

Учитель
Устранители монстров сжимают понятия
Натолкнуться на доказательство