ΛΛΛ     >>>   

Лакатос И. Фальсификация и методология научно-исследовательских программ

В. Н. Порус. РЫЦАРЬ RATIO
1. НАУКА: РАЗУМ ИЛИ ВЕРА?
2. ФАЛЛИБИЛИЗМ ПРОТИВ ФАЛЬСИФИКАЦИОНИЗМА
а) Догматический (натуралистический) фальсификационизм. Эмпирический базис.
б) Методологический фальсификационизм. "Эмпирический базис"
в) Утонченный фальсификационизм против наивного методологического фальсификационизма. Прогрессивный и регрессивный сдвиг проблемы
3. МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ПРОГРАММ
(а) Отрицательная эвристика: "твердое ядро" программы
(б) Положительная эвристика: конструкция "защитного пояса" и относительная автономия теоретической науки
(в) Две иллюстрации: Проут и Бор
(г) Новый взгляд на решающие эксперименты конец скороспелой рациональности
(г1) Эксперимент Майкельсона-Морли
(г2) Эксперименты Луммера-Прингсгейма
(г3) ? - распад против законов сохранения
(г4) Заключение. Требование непрерывного роста
4. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ПРОГРАММА ПОППЕРА ПРОТИВ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ПРОГРАММЫ КУНА
ПРИЛОЖЕНИЕ: ПОППЕР, ФАЛЬСИФИКАЦИОНИЗМ И "ТЕЗИС ДЮГЕМА-КУАЙНА"
ПРИМЕЧАНИЯ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА

Лакатос И. Фальсификация и методология научно-исследовательских программ. - М.: "Медиум", 1995.

Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы электронная научная библиотека Гумер

Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы

(Пер.с англ. И.Н.Веселовского. М., Наука, 1967)

Введение

В истории мысли часто случается, что при появлении нового мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть решены, в то время как все остальное игнорируется, даже забывается, а изучением его пренебрегают.
Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремительного развития метаматематики.
Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения — «сокращенными выражениями», которые «теоретически необязательны, но зато типографически удобны»[1].
Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержательной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной* логики и решения математических задач.
Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с ее метаматематической абстракцией (а философию математики — с метаматематикой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчетливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937). Карнап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки…, но (в) «логика науки представляет не что иное, как логический синтаксис языка науки»…, (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и 9). Итак, философию математики следует заменить метаматематикой.
Формализм отделяет историю математики от философии математики, так как согласно формалистскому пониманию математики, собственно говоря, истории математики не существует. Любой формалист целиком будет согласен с замечанием Рассела, высказанным «романтически», но сделанным вполне серьезно, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой, когда-либо написанной по математике». Формализм отрицает статус математики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее «развитии». Ни один из «творческих» периодов и вряд ли один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где математические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формалисты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь «смесей математики и чего-то другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле включают их», то они могут быть тогда допущены. При таких условиях Ньютону пришлось прождать четыре века, пока Пеано, Рассел и Куайн (Quine) помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисление бесконечно малых. Дирак оказался более счастливым: Шварц спас его душу еще при его жизни. Может быть, мы должны упомянуть здесь парадоксальное затруднение метаматематика: по формалистским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком. Дьёдонне говорит об «абсолютной необходимости для каждого математика, который заботится об интеллектуальной честности (выделение мое.— Авт.), представлять свои рассуждения в аксиоматической форме» (1939, стр. 225).
При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сделалась слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.
«Формализм» представляет крепость логической позитивистской философии. Если следовать логическому позитивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни «тавтологической», ни эмпирической, то она должна быть бессмысленной, она — чистый вздор. Догматы логического позитивизма гибельны для истории и философии математики.
Целью этих статей является подход к некоторым проблемам методологии математики. Я употребляю слово «методология» в смысле, близком к «эвристике» Полья и Бернайса и к «логике открытия» или «ситуационной логике» Поппера. Недавняя экспроприация термина «методология математики» для использования в качестве синонима «метаматематики» имеет несомненно формалистский привкус. Это показывает, что в формалистской философии математики нет настоящего места для методологии как логики открытия. Если верить формалистам, то математика будет тождественна формализованной математике. Но что можно открыть в формализованной теории? Два ряда вещей. Во-первых, можно открыть решение задач, которые машина Тюринга при подходящей программе может решить за конечное время (как, например, будет ли некоторое предложенное доказательство действительно доказательством или нет?). Ни один математик не заинтересован в том, чтобы следить за этим скучным механическим «методом», предписываемым процедурами такого решения. Во-вторых, можно найти решения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлена возможность окончательного решения, где можно руководствоваться только «методом» неуправляемой интуиции и удачи.
Так вот, для живой математики непригодна эта мрачная альтернатива машинного рационализма и иррационального отгадывания вслепую. Исследование неформальной математики дает творческим математикам богатую ситуационную логику, которая не будет ни механической, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания, тем более поощрения формалистской философии.
История математики и логика математического открытия, т. е. филогенез и онтогенез математической мысли, не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма.
Но формалистская философия математики имеет очень глубокие корни. Она представляет последнее звено в длинной цепи догматистских философий математики. Ведь уже более двух тысяч лет идет спор между догматиками и скептиками. Догматики утверждают, что силой нашего человеческого интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы ее достигли. Скептики, с другой стороны, или утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины (разве только при помощи мистического эксперимента), или что если даже сможем достичь ее, то не можем знать, что мы ее достигли. В этом большом споре, в котором время от времени аргументы осовременивались, математика была гордой крепостью догматизма. Всякий раз, когда математический догматизм попадал в «кризис», какая-нибудь новая версия снова придавала ему подлинную строгость и настоящие основы, восстанавливая образ авторитарной, непогрешимой, неопровержимой математики — «единственной науки, которую Бог захотел дать человечеству» (Гоббс, 1651). Большая часть скептиков примирилась с неприступностью этой крепости догматистской теории познания. Бросить этому вызов — давно уже стало необходимым.
Цель этого этюда и есть этот вызов математическому формализму, но это не прямой вызов основным положениям математического догматизма. Наша скромная цель состоит в установлении положения, что неформальная квазиэмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок при помощи размышления и критики, при помощи логики доказательств и опровержений. Поскольку, однако, метаматематика представляет парадигму неформальной квазиэмпирической математики и в настоящее время находится в быстром росте, то эта статья тем самым бросает вызов современному математическому догматизму. Исследователь недавней истории метаматематики найдет на его собственном поле описанные здесь образцы.
Диалогическая форма должна отразить диалектику рассказа; она должна содержать своего рода рационально реконструированную или «дистиллированную» историю. Реальная история будет звучать в подстрочных примечаниях, большая часть которых поэтому должна быть рассматриваема как органическая часть статьи.

1. Задача и догадка

Диалог происходит в воображаемой классной комнате. Класс заинтересовался задачей: существует ли соотношение между числом V вершин, числом Е ребер и, наконец, числом F граней многогранника — в частности, правильного многогранника — аналогично тривиальному соотношению между числами вершин и сторон многоугольников, а именно: что существует столько же сторон, сколько и вершин: V = Е? Последнее соотношение позволяет классифицировать многоугольники по числу сторон (или вершин): треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. Аналогичное соотношение поможет классификации многогранников.
После большого количества испытаний и ошибок класс замечает, что для всех правильных многогранников V-E+F=2.
Кто-то высказывает догадку, что это может быть приложимым к любому многограннику. Другие пытаются оспорить эту догадку, испытать ее многими разными способами — она выдерживает хорошо. Этот результат подкрепляет догадку и наводит на мысль, что она может быть доказана. В этот момент — после стадий постановки задачи и догадок — мы входим в классную комнату. Учитель как раз готовится дать доказательство.

2. Доказательство

Учитель. На нашем последнем уроке мы пришли к догадке относительно многогранников, а именно: что для всех многогранников V - Е + F = 2, где V — число вершин, Е — число ребер и F — число граней. Мы испытали ее различными способами. Но мы пока еще не доказали ее. Может быть, кто-нибудь нашел доказательство?
Ученик Сигма. Я со своей стороны должен сознаться, что пока еще не придумал строгого доказательства этой теоремы… Однако истинность ее была установлена в очень многих случаях, и не может быть сомнения, что она справедлива для любого тела. Таким образом, это предложение, по-видимому, доказано вполне удовлетворительно[13]. Но если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его.
Учитель. Действительно, я его имею. Оно состоит в следующем мысленном эксперименте. Первый шаг. Вообразим, что многогранник будет полым с поверхностью из резины. Если мы вырежем одну из его граней, то всю остальную поверхность мы можем, не разрезая, растянуть на плоской доске. Грани и ребра будут деформироваться, ребра могут стать криволинейными, но V, Е и F не изменятся, так что если и только если V — Е + F = 2 для первоначального многогранника, то V — Е + F — 1 для этой плоской сети — вспомните, что мы одну грань удалили. (На рис. 1 показана такая сеть для куба.) Второй шаг. Теперь мы стриангулируем нашу карту — она действительно выглядит как географическая карта. Проведем (может быть, криволинейные) диагонали в тех (может быть, криволинейных) многоугольниках, которые еще не являются (может быть, криволинейными) треугольниками. Проведя каждую диагональ, мы увеличиваем и E и F на единицу, так что сумма V — Е + F не изменится (рис. 2).
Третий шаг. Теперь будем вынимать из триангулированной сети треугольники один за другим. Вынимая треугольник, мы или вынимаем ребро, причем исчезают одна грань и одно ребро (рис. 3, а), или вынимаем два ребра и вершину; тогда исчезают одна грань, два ребра и одна вершина (рис. 3, б). Таким образом, если V - Е + F = 1 до выемки треугольника, то оно останется таким же и после выемки. В конце этой процедуры мы получаем один треугольник. Для него V — Е + F = 1 является справедливым. Таким образом, мы доказали нашу догадку.
Ученик Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой. Теперь здесь уже нет ничего из области догадок.
Ученик Альфа. Не знаю. Я вижу, что этот эксперимент можно выполнить с кубом или с тетраэдром, но как я могу знать, что его можно произвести с любым многогранником. Кстати, уверены ли вы, сэр, что всякий многогранник после устранения одной грани может быть развернут плоско на доске? У меня есть сомнения относительно вашего первого шага.
Ученик Бета. Уверены ли вы, что при триангулировании карты вы всегда получите новую грань для любого нового ребра? У меня есть сомнения относительно вашего второго шага.
Ученик Гамма. Уверены ли вы, что когда вы будете откидывать треугольники один за другим, то получатся только две альтернативы — исчезновение одного ребра или же двух ребер и одной вершины? Уверены ли вы также, что в конце процесса останетесь только с одним треугольником? У меня есть сомнения относительно вашего третьего шага.
Учитель. Конечно, я не уверен.
Альфа. Но ведь это еще хуже, чем раньше. Вместо одной догадки, мы теперь имеем по меньшей мере три! И вы называете это «доказательством»!
Учитель. Я допускаю, что традиционное название «доказательство» для этого мысленного эксперимента, пожалуй, не совсем подходит. Я не думаю, что этот эксперимент устанавливает истинность догадки.
Дельта. Ну а что же он тогда делает? Что же, по-вашему, доказывает математическое доказательство?
Учитель. Это тонкий вопрос, на который мы попытаемся ответить позже. До тех пор я предлагаю сохранить освященный временем технический термин «доказательство» для мысленного эксперимента, или квазиэксперимента, который предлагает разложение первоначальной догадки на вспомогательные догадки или леммы, таким образом впутывая ее, может быть, в совершенно далекую область знания. Например, наше «доказательство» в первоначальную догадку — о кристаллах, или, скажем, о твердых телах — включило теорию резиновых листов. Декарт или Эйлер, отцы первоначальной догадки, наверняка ни о чем подобном не думали [17].

3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными

Учитель. Подсказанное доказательством разложение догадки открывает новые горизонты для проб. Это разложение более широким фронтом развертывает догадку, так что наш дух критики получает большее количество целей. Мы теперь вместо одной имеем по меньшей мере три возможности для контрапримеров.
Гамма. Я уже выразил мое несогласие с вашей третьей леммой (а именно, что при вынимании треугольников из сети, получившейся после растягивания и последующей триангуляции, мы имеем только две возможности: мы убираем или только одно ребро, или же два ребра с вершиной). Я подозреваю, что при удалении треугольника могут появиться и другие возможности.
Учитель. Подозрение — это еще не критика.
Гамма. А контрапример будет критикой?
Учитель. Конечно. Догадкам нет дела до несогласий или подозрений, но они не могут игнорировать контрапримеры.
Тета (в сторону). Догадки, очевидно, сильно отличаются от тех, кто их представляет.
Гамма. Я предлагаю очень простой контрапример. Возьмем триангуляционную сеть, которая получилась после проведения на кубе двух первых операций (см. рис. 2). Теперь, если я удалю треугольник изнутри этой сети, как можно вынуть кусок из головоломки, то я вынимаю только один треугольник без удаления каких-нибудь ребер или вершин. Таким образом, третья лемма неверна — и не только в случае куба, но для всех многогранников, кроме тетраэдра, для которого в плоской сети все треугольники будут граничными. Таким образом, ваше доказательство доказывает теорему Эйлера для тетраэдра. Но ведь мы уже и так знали, что для тетраэдра V - Е + F = 2, так зачем же это доказывать?
Учитель. Вы правы. Но заметьте, что куб, который представляет контрапример для третьей леммы, не будет контрапримером для основной догадки, так как для куба V - Е + F = 2. Вы показали, что аргументация доказательства имеет недостаток, но это не значит, что наша догадка ложна.
Альфа. Так, вы теперь снимете cвое доказательство?
Учитель. Нет. Критика не всегда будет необходимо разрушением. Я просто исправлю мое доказательство, чтобы оно устояло против этой критики.
Гамма. Как?
Учитель. Прежде чем показать «как», давайте введем такую терминологию. Локальным контрапримером я буду называть пример, который отвергает лемму (не отвергая необходимо основную догадку) , а глобальным контрапримером я назову пример, отвергающий саму догадку. Таким образом, ваш контрапример будет локальным, но не глобальным. Локальный, но не глобальный контрапример представляет критику только доказательства, но не догадки.
Гамма. Значит, догадка может быть верной, но ваше доказательство ее не доказывает.
Учитель. Но я легко могу переработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка исправленной, которую ваш контрапример не сможет опровергнуть. Я не буду спорить, что при вынимании любого треугольника получаются только две упомянутые возможности, но скажу только, что на каждой стадии процесса вынимания одного из граничных треугольников может встретиться одна из упомянутых возможностей. Возвращаясь к моему мысленному эксперименту, я должен только в описании моего третьего шага прибавить одно слово, а именно, что «теперь из триангулированной сети мы отнимаем один за другим граничные треугольники». Вы согласитесь, что для приведения в порядок доказательства понадобилось только небольшое замечание?[18]
Гамма. Не думаю, чтобы ваше замечание было таким пустяковым; оно, конечно, очень остроумно. Чтобы выяснить это, я покажу, что оно неверно. Возьмем опять плоскую сеть для куба и отнимем восемь из десяти треугольников в последовательности, указанной на рис. 4. При вынимании восьмого треугольника, который, конечно, будет тогда граничным, мы отняли два ребра и ни одной вершины, а это изменит V — Е + F на 1. И мы остались с двумя отдельными треугольниками 9 и 10.
Учитель. Ну, я мог бы спасти лицо, сказав, что под граничным треугольником я подразумевал такой, вынимание которого не нарушает связности сети. Но интеллектуальная честность препятствует мне скрыто изменять мои положения словами, начинающимися с «я думал»; поэтому я считаю, что вторую версию операции вынимания треугольников я должен заменить третьей, а именно, что вынимаются треугольники один за другим таким образом, чтобы V — Е + F не изменялось.
Каппа. Охотно соглашусь, что соответствующая такой операции лемма будет истинной: конечно, если мы вынимаем треугольники один за другим, так, чтобы V - Е + F не изменялось, то V — Е + F не будет изменяться.
Учитель. Нет. Лемма заключается в том, что треугольники в нашей сети могут быть перенумерованы так, что при вынимании их в правильной последовательности V — Е +F не будет изменяться, пока мы не достигнем последнего треугольника.
Каппа. Но как же построить эту правильную последовательность, если она вообще существует? Ваш первоначальный мысленный эксперимент давал инструкцию: вынимайте треугольники в любом порядке. А теперь вы говорите, что мы должны следовать некоторому определенному порядку, но не говорите, какой это порядок и существует ли он в действительности. Таким образом, ваш мысленный эксперимент разваливается. Вы исправили анализ доказательства, т. е. список лемм, но мысленный эксперимент, который вы назвали «доказательством», исчез.
Ро. Исчез только третий шаг.
Каппа. Кроме того, улучшили ли вы лемму? Ваши первые две версии по крайней мере до их опровержения казались тривиально простыми, а ваша длинноватая заплатанная версия даже не кажется очевидной. Можете ли вы верить, что она избежит опровержения?
Учитель. «Очевидные» или даже «тривиально простые» предложения обычно скоро отвергаются: софистические, неочевидные предположения, созревшие после критицизма, могут оказаться истинными.
Омега. А что случится, если и ваши «софистические предположения» окажутся ложными и мы не сможем заменить их неложными? Или если вам не удастся улучшить локальными заплатами ваши аргументы? При помощи замены отвергнутой леммы вам удалось справиться с локальным контрапримером, не бывшим глобальным. А что если в следующий раз вам это не удастся?

Учитель. Вопрос хорош — поставим его завтра в повестку дня.

4. Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров

Альфа. У меня есть контрапример, который опровергнет вашу первую лемму; кроме того, он будет контрапримером и для основного положения; это значит, что он вполне может быть и глобальным контрапримером.
Учитель. Вот как! Интересно. Посмотрим.
Альфа. Вообразите твердое тело, заключающееся между двумя всаженными друг в друга кубами, т.е. парой кубов, из которых один находится внутри другого, но не касается его (рис. 5). Этот полый куб делает неверной вашу первую лемму, так как после отнятия грани у внутреннего куба многогранник уже нельзя будет растянуть на плоскости. Не поможет отнятие грани и от внешнего куба. Кроме того, для каждого куба V — Е + F = 2, так что для полого куба V - Е + F = 4.
Учитель. Очень хорошо. Назовем его контрапримером номер 1. Ну и что же?

Гамма. Сэр, ваше спокойствие удивляет меня. Один контрапример отвергает догадку так же эффективно, как и десять. Ваша догадка и ее доказательство полностью взорваны. Руки вверх! Вам нужно сдаться. Сотрите ложное предположение, забудьте о нем и попробуйте найти радикально новый подход.
Учитель. Согласен с вами, что контрапример Альфы — серьезная критика этого предположения. Но нельзя сказать, что доказательство «полностью взорвано». Если в настоящее время вы согласитесь с моим прежним предложением — употреблять слово «доказательство» в смысле «мысленного эксперимента, приводящего к разложению первоначального предположения на ряд вспомогательных предположений», и не пользоваться им в смысле «гарантии некоторой истины», то вам нет надобности приходить к такому заключению. Мое доказательство действительно доказало предложение Эйлера в первом смысле, но не обязательно во втором. Вы интересуетесь только такими доказательствами, которые «доказывают» то, для доказательства чего они созданы. Я же интересуюсь доказательствами, даже если они не выполняют их первоначального назначения. Колумб не достиг Индии, но он открыл нечто очень интересное.
Альфа. Следовательно, по вашей философии — локальный контрапример (если он не является одновременно глобальным) является критикой доказательства, но не предположения, а глобальный контрапример будет критикой предположения, но не обязательно доказательства. Вы соглашаетесь сдаться в том, что касается предположения, но вы защищаете доказательство. Но если предположение ложно, то что же тогда доказывает доказательство?
Гамма. Ваша аналогия с Колумбом не подходит. Принятие глобального контрапримера равносильно полной сдаче.

Дельта. Но зачем же принимать контрапример? Вы доказали вашу догадку — теперь она стала теоремой. Я принимаю, что она не согласна с этим так называемым контрапримером. Кто-то из них должен уйти. Но почему же должна уходить теорема, если она была доказана? Нужно отступить «критике». Это поддельная критика. Пара всаженных кубов совсем не будет многогранником. Это монстр, патологический случай, а не контрапример.
Гамма. А почему нет? Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из многоугольников — граней. А мой контрапример является телом, ограниченным многоугольниками — гранями.
Учитель. Назовем это Определение 1 .
Дельта. Ваше определение неправильно. Многогранник должен быть поверхностью: он имеет грани, ребра, вершины, он может быть деформирован, растянут на доске и ему нет никакого дела до понятия о «твердом теле». Многогранник есть поверхность, состоящая из системы многоугольников.
Учитель. Назовем это Определение 2.
Дельта. Таким образом, в действительности вы показали нам два многогранника, две поверхности, одна полностью внутри другой. Женщина с ребенком во чреве не может быть контрапримером для тезиса, что люди имеют одну голову.
Альфа. Так! Мой контрапример породил новое понятие о многограннике. Вы осмеливаетесь утверждать, что под многогранником всегда подразумеваете поверхность?
Рис. 6
Учитель. В данный момент позволим себе принять определение 2 Дельты. Можете вы опровергнуть наше предположение, если под многогранником мы теперь будем понимать поверхность?
Альфа. Конечно. Возьмите два тетраэдра, имеющие общее ребро (рис. 6, а). Или возьмите два тетраэдра, имеющие общую вершину (рис. 6, б). Оба эти близнеца связаны, оба составляют одну единственную поверхность. И вы можете проверить, что в обоих случаях V - Е + F = 3.
Учитель. Контрапримеры 2, а и 2, б .
Дельта. Я восхищаюсь вашим извращенным воображением, но, конечно, я не считал, что любая система многоугольников будет многогранником. Под многогранником я подразумеваю систему многоугольников, расположенных таким образом, чтобы (1) на каждом ребре встречались только два многоугольника и (2) чтобы было возможно изнутри одного многоугольника пройти во внутрь другого любой дорогой, которая никогда не пересекает ребра в вершине. Ваши первые близнецы исключаются первым критерием моего определения, ваши вторые близнецы — вторым критерием.
Учитель. Определение 3.
Альфа. Я восхищаюсь вашим извращенным остроумием, изобретающим одно определение за другим, как баррикады против уничтожения ваших любимых идей. Почему бы вам не определить многогранник как систему многоугольников, для которых имеет место уравнение V - Е + F = 2, и это Идеальное Определение…
Учитель. Определение И.
Альфа. … навсегда покончит с диспутом? Тогда уже не будет нужды в дальнейшем исследовании этого предмета.
Дельта. Но не существует на свете теоремы, которую нельзя было бы опровергнуть при помощи монстров.
Учитель. Извините, что прерву вас. Мы видели, что опровержение при помощи контрапримеров зависит от понимания рассматриваемых терминов. Если контрапример должен служить объективной критике, то нужно уговориться в понимании нашего термина. Мы можем достичь этого соглашения, определив термин, на котором оборвалось сообщение. Я, например, не определял понятия «многогранник». Я считал, что этот термин является общеизвестным, т. е. все заинтересованные обладают способностью отличить вещь, которая является многогранником, от вещи, которая им не является, — то, что некоторые логики называют знанием объема понятия «многогранник». Оказалось, что объем этого понятия совсем не является очевидным: очень часто определения даются и обсуждаются именно тогда, когда появляются контрапримеры.
Я предлагаю теперь рассмотреть все соперничающие определения вместе и отложить пока обсуждение различий, получающихся в результате выборов разных определений. Может ли кто предложить что-нибудь такое, что можно считать действительно противоречащим примером даже по самому ограничивающему определению?
Каппа. Включая Определение И?
Учитель. Исключая Определение И.
Гамма. Я могу. Взгляните на этот контрапример 3: звездчатый многогранник — я назову его «морским ежом» (рис. 7) . Он состоит из 12 звездных пятиугольников (рис. 8). Он имеет 12 вершин, 30 ребер и 12 пятиугольных граней — если хотите, вы можете проверить это подсчетом. Таким образом, положение Декарта-Эйлера совершенно неправильно, так как для этого многогранника V - Е + F = —6 .
Дельта. А почему вы думаете, что ваш «морской еж» будет многогранником?
Гамма. Разве вы не видите? Это многогранник, гранями которого являются двенадцать звездчатых пятиугольников. Он удовлетворяет вашему последнему определению: это — «система многоугольников, расположенных таким образом, что (1) на каждом ребре встречаются только два многоугольника и (2) из каждого многоугольника можно попасть в любой другой многоугольник без перехода через вершину многогранника».
Дельта. Но тогда вы даже не знаете, что такое многоугольник! Звездчатый пятиугольник наверняка не будет многоугольником. Многоугольником называется система ребер, расположенных таким образом, что (1) в каждой вершине встречаются только два ребра и (2) ребра не имеют общих точек, кроме вершин.
Учитель. Назовем это Определение 4.
Гамма. Я не понимаю, почему вы включаете второе условие: 'Правильное определение многоугольника должно содержать только первое условие.
Учитель. Определение 4'.
Гамма. Второе условие не имеет ничего общего с сущностью многоугольника. Смотрите: если я немножко подыму одно ребро, то звездчатый многоугольник все же будет многоугольником, даже в вашем смысле. Вы воображаете многоугольник, начерченный мелом на доске; но его должно представлять себе как структуру из дерева: тогда то, что вы считаете общей точкой, в действительности будет, очевидно, не точкой, но двумя различными точками, лежащими одна над другой. Вас ввело в заблуждение, что вы помещаете многоугольники в плоскость,— вы должны позволить его членам простираться в пространстве .
Дельта. Не скажете ли вы мне, что такое площадь звездчатого многоугольника? Или вы думаете, что некоторые многоугольники не имеют площади?
Гамма. Да ведь вы же сами сказали, что понятие о многограннике может быть совсем не связано с идеей телесности. Почему же теперь вы полагаете, что понятие о многоугольнике должно быть связано с понятием о площади? Мы согласились, что многогранник представляет собой замкнутую поверхность с ребрами и вершинами — тогда почему бы нам не согласиться, что многоугольник будет просто замкнутой кривой с вершинами? Но если вы придерживаетесь нашей идеи, то я охотно определю площадь звездчатого многоугольника.
Учитель. Оставим на некоторое время этот диспут и пойдем, как и раньше. Рассмотрим вместе два последних определения — Определение 4 и Определение 4'. Может ли кто-нибудь дать контрапример для нашего предположения, которое допускало бы оба определения многоугольников?
  Альфа. Вот вам один. Рассмотрим раму картины вроде такой (рис. 9). По всем предложенным до сих пор определениям это будет многогранник. Однако после подсчета вершин, ребер и граней вы найдете, что V — Е + F = 0.
Учитель. Контрапример 4 .
Бета. Ну, это конец нашей догадке. Очень жаль, потому что она во многих случаях была подходящей. Но, по-видимому, мы напрасно потеряли время.
Альфа. Дельта, я поражен. Вы ничего не говорите? Вы не можете этот новый контрапример выопределить из существования? Я думал, что на свете не существует гипотез, которых вы не смогли бы спасти от уничтожения при помощи подходящей лингвистической хитрости. Сдаетесь вы теперь? Наконец, соглашаетесь, что существуют неэйлеровы многогранники? Не поверю!
Дельта. Нашли бы вы лучше более подходящее имя для ваших неэйлеровых чудовищ и не путали нас, называя их многогранниками. Но я постепенно теряю интерес к вашим монстрам. Меня берет отвращение от ваших несчастных «многогранников», для которых неверна прекрасная теорема Эйлера. Я ищу порядка и гармонии в математике, а вы только распространяете анархию и хаос. Наши положения непримиримы.
Альфа. Вы настоящий старомодный консерватор! Вы браните скверных анархистов, портящих ваш «порядок» и «гармонию» и вы «решаете» затруднения словесными рекомендациями.
Учитель. Послушаем последнее спасительное определение.
Альфа. Вы подразумеваете последний лингвистический трюк, последнее сжатие понятия «многогранник»? Дельта разрушает реальные задачи, вместо того чтобы разрешать их.
Дельта. Я не «сжимаю» понятий. Это вы расширяете их. Например, эта картинная рама совсем не настоящий многогранник.
Альфа. Почему?
Дельта. Возьмите какую-нибудь точку в «туннеле» — пространстве, ограниченном рамой. Проведите плоскость через эту точку. Вы найдете, что всякая такая плоскость будет всегда с картинной рамой иметь два поперечных сечения, составляющих два отдельных, совершенно не связанных многоугольника! (рис. 10).
Альфа. Ну и что?
Дельта. В случае настоящего многогранника через любую точку пространства можно провести по крайней мере одну плоскость, сечение которой с многогранником будет состоять из одного лишь многоугольника. В случае выпуклого многогранника этому требованию будут удовлетворять все плоскости, где бы мы ни взяли точку. В случае обыкновенного невыпуклого многогранника некоторые плоскости будут иметь большее число пересечений, но всегда будут такие, которые имеют только одно пересечение (рис 11,а и 11,6). В случае этой картинной рамы все плоскости будут иметь два поперечных сечения, если мы возьмем точку внутри рамы. Как же тогда вы можете назвать это многогранником?
Учитель. Это похоже на еще одно определение, выраженное на этот раз в неявной форме. Назовем его Определение 5 .
Альфа. Целая серия контрапримеров, подходящая серия определений, которые не содержат ничего нового, но представляют лишь новые откровения богатства одного старого понятия, которое кажется имеющим столько же «скрытых» требований, сколько и контрапримеров. Для всех многогранников V-E+F=2 кажется неопровержимой, старой и «вечной» истиной. Странно думать, что когда-то это было удивительной догадкой, исполненной вызова и волнения. Теперь же, вследствие ваших странных изменений смысла, оно превратилось в скудную условность, в вызывающую пренебрежение частицу догмы. (Он покидает классную комнату.)
Дельта. Я не могу понять, каким образом такой способный человек, как Альфа, может тратить свой талант на пустые словопрения. Он, кажется, весь поглощен производством монстров, но монстры никогда не способствовали росту ни в мире природы, ни в мире мысли. Эволюция всегда следует гармоническому и упорядоченному образцу.
Гамма. Генетики могут легко опровергнуть это. Разве вы не слышали, что мутации, производящие уродства, играют значительную роль в макроэволюции? Такие уродливые мутанты они называют «подающими надежды монстрами». Мне кажется, что контрапримеры Альфы, хотя и уродства, являются «уродами, подающими надежду»[33]
Дельта. Во всяком случае Альфа отказался от борьбы. Теперь никаких новых монстров больше уже не будет.
Гамма. У меня есть новый. Удовлетворяет всем ограничениям Определений 1, 2, 3, 4 и 5, но для него V—E+F=1. Этот контрапример 5 — простой цилиндр. У него 3 грани (оба основания и боковая поверхность), 2 ребра (оба круга) и нет вершин. Он многогранник по вашему определению: (1) у каждого ребра ровно по два многоугольника и (2) изнутри одного многоугольника можно пройти внутрь любого другого путем, не пересекающим ни одного ребра в вершине. И вам придется грани считать настоящими многоугольниками, так как они удовлетворяют вашим требованиям: (1) у каждой вершины встречаются только два ребра и (2) ребра не имеют общих точек, кроме вершин.
Дельта. Альфа растягивал понятия, а вы их режете. Ваши «ребра» — не ребра! Ребро имеет две вершины!
Учитель. Определение 6 ?
Гамма. Но почему отрицать статус «ребра» для таких ребер, которые имеют только одну или нуль вершин? Вы обычно сокращали содержание понятий, а теперь так калечите их, что почти ничего не остается!
Дельта. Но разве вы не видите всей тщетности так называемых опровержений? До сих пор, когда изобретали новый многогранник, то это делалось для какой-нибудь практической цели; теперь же их изобретают специально для того, чтобы сделать ошибочными рассуждения наших отцов, и ничего другого из них и не получишь. Наш предмет превращается в тератологический музей, где приличные нормальные многогранники могут быть счастливыми, если им удается удержать очень маленький уголок
Гамма. Я думаю, что если мы хотим изучить что-нибудь действительно глубоко, то нам нужно исследовать это не в его «нормальном», правильном, обычном виде, но в его критическом положении, в лихорадке и страсти. Если вы хотите узнать нормальное здоровое тело, то изучайте его, когда оно в ненормальном положении, когда оно болеет. Если вы хотите знать функции, то изучайте их странности. Если вы хотите познать обычные многогранники, то изучайте их причудливые обрамления. Вот только так можно внести математический анализ в самое сердце вещей. Но если даже в основе вы правы, разве вы не видите бесплодия вашего метода ad hoc? Если вы хотите провести пограничную линию между контрапримерами и монстрами, то этого нельзя сделать в припадках и срывах.
Учитель. Я думаю, что мы должны отказаться от принятия стратегии Дельты в работе с глобальными контрапримерами, хотя нужно поздравить его с искусным ее проведением. Его метод мы можем назвать подходящим термином — метод устранения монстров. При помощи такого метода можно исключить любой контрапример для первоначального предположения при помощи какого-нибудь глубокого, но всегда ad hoc, изменения определения многогранника, или терминов, его определяющих, или определяющих терминов для его определяющих терминов. Мы должны несколько с большим уважением обращаться с контрапримерами, а не упорно заклинать их, называя монстрами. Главной ошибкой Дельты, пожалуй, будет его догматический уклон в понимании математического доказательства; он думает, что доказательство необходимо доказывает то, для доказательства чего оно было предназначено. Мое понимание доказательства допускает «доказательство» и ложного предположения путем разложения его на вспомогательные. Если предположение ложно, то я с уверенностью ожидаю, что будет ложным и, по крайней мере, одно из этих вспомогательных предположений. Но само разложение тоже может быть интересным! Я не смущаюсь, если будет найден контрапример для «доказанной» догадки; я даже согласен пытаться «доказывать» ложное предположение!
Тета. Я не понимаю вас.
Каппа. Он только следует Новому Завету: «Испытывай все; держись крепко за то, что хорошо» (Первое послание к фессалоникийцам, гл. 5, 21).

 ΛΛΛ     >>>   

Затем проведя контрабандой резерв скрытых лемм в доказательство
Теперь устраненной анализирующей доказательства зрелой интуиции
Прежде всего с некоторой новой наивной догадки
Лакатос И. Фальсификация и методология научноисследовательских программ науки