<<<     ΛΛΛ     >>>   

Пи. Я думаю, что рано или поздно «непрерывный» рост обязательно зайдет в тупик, достигнет точки насыщения теории.
Гамма. Но, конечно, я всегда могу расширить некоторое понятие!
Пи. Конечно. Наивное расширение понятий может продолжаться, но теоретическое расширение имеет пределы. Опровержения при помощи наивного расширения понятий — это только поводы, побуждающие идти вперед при помощи теоретического расширения понятий. Имеются два сорта опровержений. На первый сорт мы наталкиваемся вследствие совпадения, или счастья, или произвольного расширения какого-нибудь понятия. Они вроде чудес, их «аномальное» поведение необъяснимо, мы принимаем их как контрапримеры bona fide (добросовестно (лат).) только потому, что привыкли принимать расширяющий понятие критицизм. Я буду называть их наивными контрапримерами или причудами. Далее существуют теоретические контрапримеры: они или производятся первоначально от расширения доказательств, или в других случаях являются причудами, которые получаются от расширенных доказательств, объясняются ими и поэтому повышаются до статуса теоретических контрапримеров. На причуды надо смотреть с большим подозрением: они могут быть не подлинными контрапримерами, а примерами из совершенно другой теории, если не простыми ошибками.
Сигма. Но что мы должны делать, когда застрянем? Когда не сможем превратить наши наивные контрапримеры в теоретические, расширяя наше первоначальное доказательство?
Пи. Мы можем снова и снова пробовать, не содержит ли наша теория какой-нибудь скрытой способности роста. Иногда, однако, могут иметься хорошие причины бросить дело. Например, как правильно указал Тета, если наше дедуктивное угадывание начинает с вершины, то мы, конечно, не можем ожидать, что оно когда-нибудь может объяснить нам лишенный вершин цилиндр.
Альфа. Значит, все-таки цилиндр был не монстром, а причудой!
Тета. Но с причудами нужно быть осторожным! Они являются действительными опровержениями: их нельзя подогнать под образец непрерывных «обобщений» и они могут действительно заставить нас революционизировать нашу теоретическую систему[163]…
Омега. Хорошо! Для отдельной цели дедуктивного угадывания можно получить точку относительного насыщения — но тогда кто-нибудь найдет революционную, новую, более глубокую идею доказательства, которая имеет большую возможность объяснить. В итоге все-таки попадаешь на окончательное доказательство — без пределов, без точки насыщения, без причуд для его опровержения!
Пи. Что? Единая объединенная теория для объяснения всех явлений вселенной? Никогда! Рано или поздно мы всегда приблизимся к чему-то вроде абсолютной точки насыщения.
Гамма. Мне по настоящему безразлично, придем мы к этому или нет. Если контрапример может быть объяснен дешевым, тривиальным расширением доказательства, то я стал бы рассматривать его уже как «причуду». Повторяю: я действительно не вижу никакого особого смысла в таком обобщении «многогранника», чтобы оно включило многогранник с полостями: это не один многогранник, но класс многогранников. Я также хотел бы забыть о «многосвязных гранях» — почему бы не провести недостающие диагонали? Что касается обобщения, которое включит тетраэдры-близнецы, то я схватился бы за оружие: это годится лишь, чтобы изготовлять сложные претенциозные формулы для ничего.
Ро. Наконец-то вы снова открыли мой метод исправления монстров[164]! Он освобождает вас от узкого обобщения. Омега не должен был называть содержание «глубиной» — не всякое увеличение содержания будет увеличением глубины: подумайте о формулах (6) и (7)[165] .
Альфа. Значит, в моем ряду вы остановились на (5)?
Гамма. Да;(6) и (7) не рост, а вырождение! Вместо того чтобы идти к (6) и (7), я лучше нашел бы и объяснил какой-нибудь возбуждающий новый контрапример[166].
Альфа. По-видимому, вы все-таки правы. Но кто же решит, где остановиться? Глубина — дело только вкуса.
Гамма. А почему бы не иметь математических критиков наподобие литературных для развития математического вкуса общественной критикой? Мы даже могли бы задержать волну претенциозных тривиальностей в математической литературе[167].
Сигма. Если мы остановимся на (5) и превратим теорию многогранников в теорию триангулированных сфер с ручками, то как вы сможете в случае надобности справиться с тривиальными аномалиями, вроде объясненных в (6) и (7)?
Мю. Детская игра!
Тета. Правильно. Тогда мы остановимся на минуту на (5). Но можем ли мы остановиться? Расширение понятий может опровергнуть (5)! Мы можем игнорировать расширение понятия, если оно дает контрапример, обнаруживающий бедность содержания нашей теоремы. Но если расширение дает контрапример, который ясно показывает ее ложность, то как тогда? Мы можем отказаться от применения наших увеличивающих содержание Правила 4 или Правила 5 для объяснения причуды, но нам придется применить наше сохраняющее содержание Правило 2 для устранения опровержения при помощи причуды.
Гамма. Вот это так! Мы можем отбросить «дешевые» обобщения, но вряд ли можем отбрасывать «дешевые» опровержения.
Сигма. Почему бы не построить устраняющее монстры определение «многогранника», добавив новое условие для каждой причуды?
Тета. В обоих случаях снова вернется наш старый кошмар, порочная бесконечность.
Альфа. Пока вы увеличиваете содержание, вы развиваете идеи, делаете математику; после этого вы выясняете понятия, вы делаете лингвистику. Почему не остановиться совсем, когда перестаешь увеличивать содержание? Зачем попадаться в ловушку порочных бесконечностей?
Мю. Не надо опять сталкивать математику с лингвистикой! Наука никогда не выигрывает от таких диспутов.
Гамма. Слово «никогда» скоро обратится в «скоро». Я целиком за возобновление нашей старой дискуссии.
Мю. Но мы уже кончили тупиком. Или кто-нибудь может сказать нам что-нибудь новое?

9. Как критика может математическую истину превратить в логическую

Каппа. Альфа уже сказал, что наш «старый» метод приводит к порочной бесконечности[168] . Гамма и Ламбда ответили надеждой, что поток опровержений может иссякнуть[169]; но теперь, когда мы понимаем механизм успеха опровержений — расширение понятий,— мы знаем, что их надежда была тщетной. Для всякого предложения всегда найдется некоторое достаточно узкое толкование его терминов, которое окажется истинным, и некоторое достаточно широкое, которое окажется ложным. Какое толкование предполагается, и какое нет, зависит, конечно, от наших намерений. Первое толкование можно было бы назвать догматическим, подтвердительным ил и оправдательным толкованием, а второе скептическим, критическим или опровергательным. Альфа назвал первое конвенционалистской стратагемой[170], но теперь мы видим, что второе будет таким же. Вы все осмеяли догматическое толкование Дельтой наивной догадки[171], а затем догматическое толкование Альфой теоремы[172] . Но расширение понятий опровергает всякое утверждение и вообще не оставит истинного утверждения.
Гамма. Постойте. Правда, мы расширили понятие «многогранник», затем разорвали его и отбросили; как указал Пи, наивное понятие «многогранник» уже не фигурирует больше в теореме.
Каппа. Но тогда вы начнете расширять термин в теореме — теоретический термин, не правда ли? Вы сами решили расширить «односвязную грань» так, чтобы включить круг в боковую поверхность цилиндра[173]. Вы подразумевали, что интеллектуальная честность требует подставить шею, добиться почетного статуса опровергаемости, т. е. сделать возможным толкование опровергателя. Но при наличии расширения понятий опровергаемость означает опровержение. Таким образом, вы скользите по бесконечному склону, опровергая каждую теорему и заменяя ее более «строгой» — такой, ложность которой еще не выявлена. Но вы никогда не выйдете из ложности.
Сигма. А что, если мы остановимся на некотором пункте, примем оправдательные толкования и не будем трогаться дальше от истины или от той частной лингвистической формы, в которой была выражена истина?
Каппа. Тогда вам придется отражать контрапримеры, расширяющие понятия, вместе с устраняющими монстры определениями. Таким образом, вы будете скользить по другому бесконечному склону: вы будете принуждены принимать каждую «особую лингвистическую форму» вашей истинной теоремы, которая не будет достаточно точной, и вы будете принуждены включать в нее все более и более «строгие» определения, выраженные в терминах, неясность которых еще не разоблачена. Но вы никогда не выйдете из неясности.
Тета (в сторону). Что же плохо в эвристике, где неясность является ценой, которую мы платим за рост?
Альфа. Я сказал вам: точные понятия и непоколебимые истины живут только в мысли, но не в языке!
Гамма. Позвольте мне сделать вам вызов, Каппа. Возьмите теорему, как она стояла после того как мы учли цилиндр: «Для всех простых объектов с односвязными гранями, у которых ребра оканчиваются в вершинах, V—Е+F = 2». Как вы опровергнете это методом расширения понятий?
Каппа. Прежде всего я вернусь к определяющим терминам и произнесу предложение полностью. Затем я решу, какие понятия надо расширить. Например, «простой» стоит вместо «могущий быть растянутым в плоскости после отнятия одной грани». Я растяну термин «растягивание». Возьмите уже обсужденные тетраэдры-близнецы, имеющие общее ребро (рис. 6,а). Этот многогранник будет простым, его грани—односвязными, но V—Е+F = 3. Итак, наша теорема неверна.
Гамма. Но эти близнецы-тетраэдры не будут простым многогранником!
Каппа. Конечно, будут простым. Отнимая любую грань, я могу растянуть его на плоскости. Мне придется только быть осторожным, когда я подойду к критическому ребру, чтобы ничего не разорвать, открывая по этому ребру второй тетраэдр.
Рис. 24
Гамма. Но это же не растягивание! Вы режете — или расщепляете — ребро на два ребра. Вы, конечно, не можете поместить одну точку в двух точках: растягивание является дважды непрерывным однозначным отображением.
Каппа. Определение 9? Боюсь, что это узкое, догматическое толкование «растягивания» не удовлетворит моему здравому смыслу. Например, я вполне могу в воображении растянуть квадрат (рис. 24,а) в два вложенных друг в друга квадрата, если растяну его контурную линию (рис. 24,6). Назовете ли вы это растягивание разрезом или расщеплением только потому, что оно не представляет «дважды непрерывного однозначного отображения». Между прочим, я удивляюсь, почему вы не определили растягивание как преобразование, которое оставляет V, Е и F неизменными, и покончили бы с этим?
Гамма. Верно, вы опять выиграли. Я должен или согласиться с вашим опровергательным толкованием «растягивания» и расширить мое доказательство, или найти более глубокое, или включить лемму, или ввести определение, устраняющее монстры. Однако в каждом из этих случаев я всегда буду делать более и более ясными мои определяющие термины. Почему я не должен прийти к такой точке, для которой значение терминов будет настолько кристально ясным, что может быть только одно-единственное толкование, как в случае с 2 + 2=4? Здесь нет ничего эластичного в смысле этих терминов и ничего опровержимого в истине этого определения, которое вечно сияет в естественном свете разума.
Каппа. Мутный свет!
Гамма. Расширьте, если вы можете.
Каппа. Но это же детская игра! В некоторых случаях два и два составляют пять. Предположим, что просим прислать две вещи, из которых каждая весит два фунта; они были присланы в ящике, весящем один фунт; тогда в этой упаковке два фунта и два фунта составляют пять фунтов!
Гамма. Но вы получаете пять фунтов, складывая три груза, 2 и 2 и 1!
Каппа. Верно, наша операция «2 и 2 составляют 5» не представляет сложения в первоначальном смысле этого слова. Но простым расширением смысла сложения мы можем сделать этот результат истинным. Наивное сложение представляет очень частный случай упаковки, когда вес покрывающего материала равен нулю. Нам нужно включить эту лемму в догадку в качестве условия: наша исправленная догадка будет: «2+2 = 4 для «невесомого» сложения»[174]. Вся история алгебры представляет ряд таких расширений понятий и доказательств.
Гамма. Я думаю, что вы «растягиваете» слишком далеко. В следующий раз вы истолкуете «плюс» как «косой крест» и будете рассматривать это как опровержение! Или вы истолкуете «все» как «не» в положении: все многогранники суть многогранники»! Вы расширяете понятие расширения понятий! Мы должны отграничить опровержение при помощи рационального расширения от «опровержения» при помощи иррационального расширения. Мы не можем позволить вам расширить любой термин так, как вы этого хотите.
Мы должны закрепить понятие контрапримера в кристально ясных терминах!
Дельта. Даже Гамма обратился в устранителя монстров: теперь для опровержения расширением понятий он хочет получить определение, устраняющее монстры. Разумность в конце концов зависит от неэластических, точных понятий[175] .
Каппа. Но таких понятий не существует! Почему не принять, что наша способность уточнять смысл наших выражений ничтожна и поэтому наша способность доказывать тоже ничтожна? Если вы хотите, чтобы математика имела смысл, то вы должны отказаться от достоверности. Если вы хотите достоверности, избавьтесь от смысла. Вы не можете иметь и то и другое. Тарабарщина безопасна от опровержений, имеющие смысл предложения могут быть опровергнуты расширением понятий.
Гамма. Тогда ваши последние утверждения тоже могут быть опровергнуты — и вы знаете это. «Скептики — это не секта людей, убежденных в том, что они говорят, это — секта лжецов»[176].
Каппа. Ругательства — последнее прибежище разума!

Тета. Я думаю, что Гамма прав относительно необходимости проведения раздельной линии между рациональным и иррациональным расширением понятий. Действительно, расширение понятий зашло слишком далеко и из скромной рациональной деятельности превратилось в радикальную и иррациональную.
Первоначально критика сосредоточивалась исключительно на небольшом расширении одного частного понятия. Оно должно было быть небольшим, чтобы мы не могли его заметить; если бы его действительная — расширяющая — природа была увидена, то оно могло не быть принятым как законная критика. Оно сосредоточивается на одном частном понятии, как в случае наших несофистических универсальных предложений «Все А суть В». В таком случае критик хочет найти слегка расширенное А (в нашем случае многогранник), которое не будет В (в нашем случае эйлеров).
Но Каппа заострил это в двух направлениях. Во-первых, чтобы подвергнуть расширяющей понятие критике более чем одну составную часть предложения, находящегося под ударом. Во-вторых, превратить расширение понятий из тайной и даже скромной деятельности в открытое деформирование понятия вроде превращения «все» в «не». Здесь в качестве опровержения принимается любой имеющий смысл перевод терминов атакуемого предложения, который делает теорему ложной. Тогда я сказал бы, что если предложение не может быть опровергнуто в отношении своих составных частей: а, b,.., то оно будет логически истинным для этих составных частей[177]. Такое предложение представляет конечный результат длинного критико-спекулятивного процесса, в течение которого смысловой груз некоторых терминов полностью перенесен на остальные термины и на форму теоремы.
Теперь все, что говорит Каппа, сводится к тому, что не существует предложений, логически истинных для всех их составных частей. Но могут быть предложения, логически истинные по отношению к некоторым составным частям, так что поток опровержений может быть открытым снова, если будут добавлены новые составные части, могущие быть расширенными. Если мы доведем дело до конца, то кончим иррационализмом,— но мы в этом не нуждаемся. Теперь, где же должны мы провести граничную линию? Мы можем допустить расширение понятий только для особо выделенной подгруппы составных частей, которые станут первыми мишенями для критики. Логическая истинность не будет зависеть от их значения.
Сигма. Таким образом, в конце концов мы приняли пункты Каппы: мы сделали истину не зависящей от значения по крайней мере некоторых из терминов!
Тета. Это верно. Но если мы хотим разбить скептицизм Каппы и избегнуть его порочных бесконечностей, то мы непременно должны остановить расширение понятий в той точке, где оно перестает быть орудием роста и становится орудием разрушения: может быть, нам придется определить, какими будут термины, значение которых может быть расширено только за счет уничтожения основных принципов рациональности[178].
Каппа. Можем ли мы расширять понятия в вашей теории критической рациональности? Или будет ли это очевидно истинным, формулированным в не допускающих расширения точных терминах, которые не нуждаются в определении? Не кончится ли ваша теория критицизма «обращением к суду»? Можно ли критиковать все, кроме вашей теории критицизма, вашей «метатеории»[179] ?
Омега (к Эпсилону). Мне нравится этот отход от истины к рациональности. Чьей рациональности? Я чувствую конвенционалистскую инфильтрацию.
Бета. О чем вы говорите? Я понимаю «мягкий образец» Теты расширения понятий. Я также понимаю, что расширение понятий может атаковать более чем один термин: мы видели это, когда Каппа расширял «расширение» или когда Гамма расширял «все»…
Сигма. Но Гамма, конечно, расширял «односвязные»!
Бета. Ну нет. «Односвязные» — это сокращение — он расширил только термин «все», который попался среди определяющих слов[180] .
Тета. Вернемся к делу. Вы чувствуете себя несчастными из-за «открытого» радикального расширения понятий?
Бета. Да. Никто не захочет принять эту последнюю выпущенную марку за настоящее опровержение! Я хорошо вижу, что мягкая расширяющая понятия тенденция эвристического критицизма, раскрытая Пи, представляет наиболее важный двигатель математического роста. Но математики никогда не примут эту последнюю дикорастущую форму опровержения!
Учитель. Вы неправы, Бета. Они приняли ее и их принятие было поворотным пунктом в истории математики. Эта революция в математическом критицизме изменила понятие о математической истине, изменила стандарты математического доказательства, изменила характер математического роста[181]. Но теперь закроем на данный момент нашу дискуссию; об этой новой стадии мы поговорим в другое время.
Сигма. Но ведь ничего не установлено. Мы не можем остановиться теперь.
Учитель. Сочувствую вам. Эта последняя стадия даст важные источники пищи для нашей дискуссии[182]. Но научное исследование «начинается и кончается проблемами»[183]. (Покидает классную комнату).
Бета. Но вначале у меня не было проблем! А теперь у меня нет ничего, кроме проблем!

Литература

Abel N. Н. (1826). Письмо к Ганстину, в «Oeuvres». Sylow, Lie (Eds.), Christiania, vol. II, 1881, 263—265.
Aetius (ок. 150). Placita.
Alexandrov A. D. (1956). Введение к Aleksandrov, Kholmogorov, Lavrentiev (eds). Mathematics, its content, methods and meaning. Moscow; английский перевод S. H. Goura.— Am. Math. Soc., Rhode Island, 1962.
Ambrose A. (1959). Proof and the theorem, proved.—Mind, N. S., 67, 435-445.
Arber A. (1954). The mind and the eye. Cambridge.
Arnauld A. (1724). L'art de penser. Paris.
Вa1tzer R. (1860—62). Die Elemente der Mathematik I—II. Leipzig. Bartley W. W. (1962). Retreat to commitment. N. Y.
Becker J. C. (1869). Ueber Polyeder. Z. Math, und Physik, 14, 65-76.
Becker J. C. (1869a). Nachtrag zu dem Aufsatze iiber Polyeder.— Z. Math, und Physik., 14, 337—433.
Becker J. C. (1874). Neuer Beweis und Erweiterung eines Fundamentalsatzes uber Polyederflachen.— Z. Math, und Physik, 19, 459—460.
Bell E. T. (1945). The Development of mathematics, 2nd ed. N. Y.
Berard J. B. (1818—19). Sur le nombre des racines imaginaries des equations; en reponse aux articles de MM. Tederat et Servois.— Ann. de math, purcs et appl., 9, 345—372.
Bernays P. (1947). Review of Polya's «How to solve it».—Dialectica, 1, 178—188.
Bolzano B. (1837). Wissenschaftslehre. Versuch einer ausfuhrlichen und gro'ssenteils neuen Darstellung der Logik mit steter Riicksicht auf deren bisherige Bearbeiter. Sulzbach.
Braithwaite R. B. (1953). Scientific explanation. Cambridge.
Brouwer L. E. J. (1952). Historical background, principles and methods of intuitionism.—South African J. Sci., 49 (1952—53), 139-146.
Carnap R. (1937). The logical syntax of language. N. Y. London (просмотренный перевод «Logische Syntax der Sprache». Vienna, 1934).
Cauchy A. L. (1811). Recherches sur les polyedres.—J. de 1'Ecole Polytechnique, 1813, 9, 68—86. (Прочитано в февр. 1811 г.)
Cauchy A. L. (1812). Sur les polygones et les polyedres.—J. de 1'Ecole Polytechnique, 1813, 9, 87—98. (Прочитано в январе 1812 г.)
Cauchy A. L. (1821). Cours d'Analyse. Paris.
Cayley A. (1859). On Poinsot's four new regular solids.— The London, Edinburgh and Dublin Philos. Mag. and J. Sci., 4th ser., 17, 123—128.
Cayley A. (1861). On the partitions of a close.—The London, Edinburgh and Dublin Philos, Mag. and J. Sci., 4th ser., 21, 424—428.
Church A. (1956). Introduction to mathematical logic. I. Princeton.
Clairaut A. C. (1741). Elements de Geometrie. Paris.
Copi I. M. (1949). Modern logic and the synthetic a priori.— J. Philos., 46, 243—245.
Copi I. M. (1950). Goedel and the synthetic a priori: a rejoinder.- J. Philos., 47, 633-63C.
Crelle A. L. (1826—27). Lehrbuch der Elemente der Geometrie. Berlin, I—II.
Curry H. B. (1951). Outlines of a formalist philosophy of mathematics. Amsterdam.
Darboux C. (1874). Письмо к Houel, цитируется у F. Rostand: Souci d'exactitude et scrupules des mathematiciens.— Paris, 1960, 11.
Darboux С. (1874a). Письмо к Houel, цитируется у F. Rostand: Souci d'exactitude et scrupules des mathematiciens. Paris, 1960, 194.
Darboux C. (1883). Письмо к Houel, цитируется у F. Rostand: Souci d'exactitude et scrupules des mathematiciens. Paris, 1960, 261.
Denjoy A. (1919). L'orientation actuelle des mathematiques.—Revue du mois, 20, 19—28.
Descartes R. (1628). Regulae ad Directionem Ingenii. Цитируется по переводу Haldane — Ross.
Descartes R. (ок. 1639). De solidorum elementis, впервые опубликовано Foucher de Careil: Oeuvres inedites de Descartes, II. Paris, 1860, 214—234. Значительно исправленный текст, см. Adam — Tannery. Oeuvres de Descartes, vol. X. Paris, 1908, 257-278.
Dieudonne J. (1939). Les methodes axiomatiques modernes et les fondements des mathematiques.— Rev. sci., 77, 225—231.
Diogenes Laertius (ок. 200). Жизнеописания греческих философов.
Einstein A. (1953). Письмо к P. A. Schilpp, опубликовано в Schilpp: The Abdication of Philosophy, Kant Studien, 51, 1959—60, 490—91
Euler L. (1750). Elementa Doctrinae Solidorum. Novi commenta-rii academiae scientiarum Petropolitanae (1752—1753), 1758, 4, 109—140. (Прочитано в ноябре 1750 г.)
Euler L. (1751). Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita, Novi commen-tarii academiae scientiarum Petropolitanae (1752—1753), 1758, 4, 140—160. (Прочитано в сентябре 1751 г.).
Euler L. (1753). Specimen de usu observationum in mathesi pura. Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, (1756— 57), 1761, 6, 185—230. Издательское резюме, ibid., 19—21.
Eves and Newsоm (1958). An introduction to the foundations and fundamental concepts of mathematics. N. Y.
Felix. (1957). L'aspect moderne des mathematiques. Paris.
Forder H. G. (1927). The foundations of euclidean geometry. Cambridge.
Frechet M. (1928). Les espaces abstraits. Paris.
Frechet M. (1938). L'analyse generale et la question de fondements. В книге Gonseth (изд.). Les Entretien de Zurich, 1941.
Frege C. (1893). Grundgesetze der Arithmetik, I. Jena.
Gamow С. (1953). One, two, three… infinity. N. Y.
Goldschmidt R. (1933). Some aspects of evolution.— Science, 78, 539-547.
Grunert J. A. (1827). Einfacher Beweis der von Gauchy und Eu-ler gefundeaen Satze von Figurennetzen und Polyedern.— J. die reine und angew. Math., 2, стр. 367.
Hardy G. H. (1928). Mathematical proof.—Mind. N. S., 38, 1—25,
Haussner R. (ed.) (1906). Abhandlungen iiber die regelmassigen Sternkorper.— Ostwald's Klassiker der Wissenschaften, N 151. Leipzig.
Heath Th. L. (1925). The thirteen books of Euclid's elements, второе издание. (Первое издание появилось в 1908 г.).
Hempel С. G. (1945). Studies in the logic of confirmation, I—II.— Mind, N. S., 54, 1-26, 97-121.
Hermite C. (1893). Lettre a Stieltjes, 20 mai 1893, Correspondence d'Hermite et de Stieltjes, Publiee par les soins de B. Baillaud et H. Bourget, I—II. Paris, 1905, vol. II, 317—319.
Hessel F. Ch. (1832). Nachtrag zu dem Euler'schen Lehrsatze von Polyedern.— J. die reine und angew. Math. 8, 13—20.
Hetting A. (1939). Les fondements des mathematiques du point de vue intuitioniste. Appendix to F. Gonseth: Philosophic mat-hematique. Paris.
Hey ting A. (1956). Intuitionism. An introduction. Amsterdam.
Hilbert D., Cohn-Vossen S. (1956). Geometry and imagination. N. Y. Оригинальное немецкое издание: Anschauliche Geo-metrie. Berlin, 1932.
Hobbes T. (1651). Leviathan, or the matter, form and power of a Commonwealth, Ecclesiastical and Civil. London.
Hobbes T. (1656). The questions concerning liberty, necessity and chance, clearly stated and debated between Dr. Bramhall, Bishop of Derry, and Thomas Hobbes of Malmesbury. London.
Holder O. (1924). Die mathematische Methode. Berlin.
Hoppe R. (1879). Erganzung des Eulerschen Satzes von den Polyedern.—Arch. Math, und Physik, 63, 100—103.
Husserl E. (1900). Logische Untersuchungen, I. Halle.
Jonquieres E. de (1890a). Note sur un point fondamental de la theorie des polyedres.— Comptes rendus des seances de L'Acade-mie des Sciences, 170, 110—115.
Jonquieres E. (1890b). Note sur le theoreme d'Euler dans la theorie des polyedres.— Comptes rendus des seances de ГАса-demie des Sciences, 110, 169—173.
Jordan C. (1866). Recherches sur les polyedres.—J. die reine und angew. Math., 57, 22—85.
Jordan C. (1866a). Resume de recherches sur la symetrie des polyedres non Euleriens.— J. die reine und angew. Math., 57, 86-91.
Kant I. (1781). Kritik der reinen Vernunft. Riga.
Kepler I. (1619). Harmonices mundi. Lincii.
Lakatos I. (1961). Essays in the Logic of mathematical discovery, Ph. D. Dissertation. Cambridge.
Lakatos I. (1962). Infinite Regress and the foundations of mathematics, Aristotelian society supplementary volume. 36, 155—184.
Landau E. (1930). Grundlagea der Analysis. Leipzig.
Lebesgue H. (1923). Notice sur la vie et les travaux de Camille Jordan. Перепечатано в H. Lebesgue: Notices d'Histoire des Mathematiques. Geneve, 1958, 40—65.
Lebesgue H. (1928). Lemons sur 1'integration. Paris. Второе, увеличенное издание первоначального 1903 г.
Legendre (1794). Elements de geometric. Paris. Нумерация страниц по изданию 1809 г.
Lhuilier S. A. J. (1812—1813). Memoire sur polyedrometrie: con-tenant une demonstration directe du Theoreme d'Euler sur les polyedres, et un examen des diverses exceptions auxquelles ce theoreme est assujetti.— (Extrait) par M. Gergonne.— Annal. math, pures et appl., 3, 169—191. Lhuilier S. A. J. (1812—1813a). Memoire sur les solides reguliers.— Ann. math, pures et appl., 3, 233—237.
Listing J. B. (1861). Der Census raumlicher Complexe.—Abhandl. Koniglichen Gesellschaft Wiss. Gatingen, 10, 97—182. (Прочитано в декабре 1861 г.)
Matthiessen L. (1863). Ueber die scheinbaren Einschrankungen des Euler'schen Satzes von den Polyedern.— Z. Math, und Physik, 8, 449—450.
Meister A. L. F. (1769—1770). Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum affectionibus, Novi Com-mentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis, 1771, 1, 144—180.
Moebius A. F. (1827). Der baryzentrische Calcul. Leipzig.
Moebius A. F. (1865). Ueber die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders.— Ber. Konigl. Sachs. Ges. d. Wiss., Math.-phys. Klasse, 17, 31—68.
Moore E. H. (1902). On the foundations of mathematics.—Science, 17 (1903), 401-416.
Munroe M. E. (1953). Introduction to Measure and Integration.Cambridge, Mass.
Neumann J., von (1947). The mathematician. В Heywood (ed.); The works of the mind. Chicago (Перепечатано в «Collected works», vol. I, 1961, 1—9).
Newton I. (1717). Optics, or, a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours of light, second Ed. London.
Olivier L. (1826). Bemerkungen iiber Figuren, die aus beliebigen von geraden Linien umschlossenen Figuren zusammengesetzt sind.— J. die reine und angew. Math., I, 1826, 227—231.
Pascal B. (1657—1658). Les Reflexions sur la Geometric en general (De 1'esprit geometrique et de 1'art de persuader).
Peanо C. (1894). Notations de logique mathematique. Turin.
Poincare H. (1893). Sur la generalisation d'un  theoreme d'Euler relatif aux polyedres.— Comptes rendus des seances de 1'Acade-mie des Sciences, 117, 144.
Poincare H. (1899). Complement а l’Analysis Situs. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 13, 285—343.
Poincare H. (1902). La Science et 1'Hypothese. Paris. Авторизованный английский перевод В. Halsted: The foundations of science, 27—197. Lancaster, Pa, 1913.
Poincare H. (1905). La Valeur de la Science, Paris; авторизованный перевод G. В. Halsted: The foundations of science, 27—197. Lancaster, Pa, 1913.
Роinсare H. (1908). Science et Methode. Paris. Авторизованный английский перевод G. В. Halsted: foundations of science, 359— 546. Lancaster, Pa, 1913.
Poinsot L. (1809). Memoire sur les polygones et les polyedres.— «J. de 1'Ecole Polytechnique», 1810, 4, 16—48. (Прочитано в июле 1809 г.)
Poinsot L. (1858). Note sur la theorie des polyedres.—Comptes rendus de 1'Academie des Sciences, 46, 65—79.
Po1уa G. (1945). How to solve it. Princeton.
Polуa G. (1954). Mathematics and plausible reasoning, I—II. London.
Polуa G. (1962a). Mathematical discovery, I. N. Y.
Polya G. (1962b). The teaching of mathematics and the biogene-tic law. «The scientist speculates» (ed. L. J. Good). London, 352—356.
Polya G., Szego G. (1925). Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. Berlin.
Popper K. R. (1934). Logik der Forschung. Vienna (Английский перевод: The logic of scientific discovery. London, 1958).
Popper K. R. (1945). The open society and its enemies. London.
Popper K. R. (1947—1948). Logic without assumptions.—Aristotelian Soc. Proc. 47, 251—292.
Popper K. R. (1952). The nature of philosophical problems and their roots in science.— Brit. J. Philos. Sci., 3, 124—156. Перепечатано в 1963а.
Popper K. R. (1957). The poverty of Historicism. London.
Popper K. R. (1963a). Conjectures and refutations. London.
Popper K. R. (1963b). Science: problems, aims, responsibilites.— Federation Am. Soc. Exp. Biol. Federation Proc., 22, 961—972.
Quine W. V. O. (1951). Mathematical logic, пересмотренное издание. Cambridge, Mass. (1-е издание 1940).
Raschig L. (1891). Zum Eulerschen Theorem der Polyedrometrie. Festschrift des Gymnasium. Schneeberg.
Reichardt H. (1941). Losung der Aufgabe 274,—Jahresberichte Dtsch. Math. Vereinigung, 51, 23.
Riemann B. (1851). Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grosse, Inaugural dissertation. Gottingen.
Robinson R. (1936). Analysis in Greek Geometry.—Mind, 45, 464—73.
Robinson R. (1953). Plato's earlier dialectic. Oxford.
Rudin W. (1953). Principles of mathematical analysis. N. Y.
Russel B. (1901). Recent work in the philosophy of mathematics.— Int. Monthly, 3.
Russel B. (1903). Principles of mathematics. London.
Russel B. (1918). Mysticism and logic. London.
Saks S. (1933). Theorie de Fintegrale. Warsaw. Английский перевод второго издания: Theory of the integral. Warsaw, 1937.
Schlafli L. (1852). Theorie der vielfachen Kontinuitat. Посмертно опубликовано в «Neue Denkschrifton der allgemeinen Schwei-zerischen Gesellschaft fur die gesamten, Naturwissenschaften», 38. Zurich, 1901.
Schroder E. (1892). Ueber dio Vielecke von gebrochener Seiton-zahl oder die Bedeutung der Stern-polygone in der Geometric.— Z. Math, und Physik., 7, 55—64.
Seidel Ph. L. (1847). Note iiber eine Eigenschaft der Reihen, weiche discontinuirliche Functionen darstellen. «Abhandl. Math.-Phys. Klasse der Kgl. Bayerischen Akademie Wiss., 5, 381—394.
Sextus Empiricus (ок. 190). Против логиков.
Somruerville D. M. Y. (1929). An introduction to the geometry of n-dimensions. London.
Steiner J. (1826). Leichter Beweis eines stereometrischen Satzes von Euler.— J. die reine und angew. Math., 1, 364—367.
Steinhaus H. (1960). Mathematical snapshots. N. Y., Revised and enlarged edition.
Steeinitz E. (1914—1931). Polyeder and Raumeinteilungen. В W. Fr. Meyer, H. Mohrmann (eds.): Encyklopadie der mathema-tischen Wissenschaften. Leipzig, Bd. Ill, AB. 12. Szabo A. (1958). Deiknymi als mathematischer Terminus fur «Beweisen».—Maia, N. S., 10, 1—26.
Szabo A. (I960). Anfange des euklidischen Axiomensystems.—Arch. History. Exact Sci., 1, 1960, 37—106.
Тarski A. (1930a). Uber einige fundamental Begriffe der Meta-mathematik.— Comptes rendus des seances de la Societe et des Lettres de Varsovie, 23, Cl. Ill, 22—29. На английском языке опубликовано в Tarski: Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956, pp. 30—37.
Tarski A. (1930b). Fundamental Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften, I.— Monatshefte Math, und Physik, 37, 361—404. На английском языке опубликовано в Tarski: Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956, 60—109.
Tarski A. (1935). On the concept of logical consequence. Опубликовано в Tarski: Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956, 409—420. Доклад был прочитан в 1935.
Tarski A. (1941). Introduction to Logic and to the methodology of deductive sciences. N. Y. Second ed., 1946. Это частично измененный и расширенный перевод «On mathematical logic and deductive method» (польский оригинал опубликован в 1936, немецкий перевод в 1937).
Turquette А. (1950). Godel and the synthetic a priori,—J.Philos. 47, 125—129.
Waerden B. L., van der (1941). Topologie und Uniformisierung der Riemannsches Flachen.— Bericnte der Math. Phys. Klasse der Sachsischen Akademie der Wissenschaften. Leipzig, 93, 148—160.
Whitehead A.N., Russell B. (1910—1913). Principia mathe-matica, vol. I, 1910, vol. II; 1912; vol. Ill, 1913. Cambridge.
Wilder R. I. (1944). The nature of mathematical proof.— Am. Math. Monthly, 51, 309—323.
Zacharias M. (1914—1931). Elementargeometrie. В W. Fr. Meyer, H. Mohrmann (eds.): Encyklopadie der mathematischen Wissenschaften, III, AB, 9. Leipzig.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

Побуждающие идти вперед при помощи теоретического расширения понятий
Он теперь хочет назвать полным анализ доказательства
Лакатос И. Фальсификация и методология научноисследовательских программ науки 13 догадки