<<<     ΛΛΛ     >>>   

Каждый из участвующих в полемике должен постоянно удерживать в голове представление не только о предмете спора, но и о взглядах оппонента. Постепенное прояснение мнения противоположной стороны и, как следствие, уточнение собственной позиции и продвигают вперед обсуждение в случае, если оно действительно является плодотворным. Противоречие изначально отстаиваемых тезисов служит как бы мотором дискуссии, оканчивающейся либо "победой" одной из сторон, либо взаимным углублением исходных позиций. Поскольку в ходе спора происходит всегда переход от старого содержания к новому содержанию же, то формальный момент дискуссии оказывается всегда подчиненным ее предметной стороне. Если же открытая дедуктивно-теоретически новая схема вывода как бы "внедряется" в материальную ткань полемики и формальный момент становится активной, ведущей стороной в одной из критических точек дискуссии, то это означает, что не зависящая ни от какого содержания схема в состоянии сформировать из "материи спора" адекватное себе содержательное умозаключение, способствующее достижению целей одного из участников диспута. "Допустит" ли детерминируемая своим собственным содержанием структура дискуссионного процесса "вторжение" в нее со стороны "вещи", никак с этим содержанием не связанной? Вопрос, наверное, чисто риторический.

Теоремы аксиоматической "теории диспутов" распадаются, таким образом, на два резко различающихся между собой класса. К первому относятся "естественные" логические правила, реально используемые в практике дискуссий, для проверки достоверности которых факт дедуктивного выведения их из простейших недоказуемых правил не имеет ровно никакого значения, ибо в каждом отдельном случае их "истинность" гарантируется конкретным содержанием диспута. Ко второму относятся "искусственные" правила, не применяемые (до определенного момента) в практике дискуссий и потому обязанные своим существованием исключительно аксиоматической форме теории. Мало того, что подобные формальные правила никак нельзя перепроверить внешним по отношению к логической дедукции способом, но даже догадаться до них без помощи готовой идей аксиоматического метода было бы совершенно невозможно! В той части рассматриваемой гипотетической "теории диспутов", которая имеет отношение к реально проходящим дискуссиям, логическая дедукция тем самым оказывается ненужной, а там, где она необходима, исчезает какая-либо связь с материальной и формальной сторонами "конструкции спора". Поэтому если исторически дедуктивное изложение логики высказываний все же возникает (как это имело место у стоиков), то оно должно быть привнесено в нее извне.

Не обслуживая никаких реальных потребностей логики, понимаемой как "теория диспутов" (а подобное понимание нисколько не сужает области применимости логических правил, поскольку всякое доказательное рассуждение можно рассматривать как спор с оппонентом, отстаивающим прямо противоположное утверждение), аксиоматическое построение логической науки способно лишь расширить область действия ранее созданного дедуктивного метода, укрепив тем самым веру в потенциальную неограниченность сферы его применения. Подлинный же источник идеи аксиоматического способа рассуждений не может находиться в области формально-логических правил умозаключений. Должна существовать особая предметная область, специфическое содержание которой способно породить из себя идеи аксиоматики. В [2] показано, что такой наукой может быть только геометрия.

Мы видим, таким образом, что при попытке уточнения концепции А.Н. Колмогорова "сильный вариант", когда общественно-политическая и культурная жизнь греческих государств рассматриваются как достаточное условие возникновения аксиоматического метода, приходится признать неудовлетворительным. Указанное историческое обстоятельство фактически играло роль лишь необходимого условия, которое могло реализоваться только при наличии специальной теоретической дисциплины, изучающей свойства фигур и углов.

* * *

Полученный вывод в принципе мог бы устроить современного математика, не задумывающегося в момент обращения к аксиоматическому методу о том, что это испытанное "оружие" появилось некогда на свет не без помощи внешних по отношению к математике условий. Даже если это и так, все равно эти "когда-то внешние" предпосылки вошли в плоть и кровь современной математики и давно уже воспринимаются как "внутреннее" условие ее существования. По-иному могут отнестись к указанному выводу логик или философ, не связывающие свою деятельность с ограниченным содержанием той или иной предметной области знания. И вот по какой причине историко-философского характера.

У Платона идеальные геометрические объекты образуют лишь "второсортный" вид умопостигаемого, поскольку при познании их свойств "душа... бывает вынуждена пользоваться предпосылками... и пользуется лишь образными подобиями, выраженными в низших вещах, особенно в тех, в которых она находит и почитает отчетливое их выражение" ("Государство" 511 a). Высший раздел умопостигаемого составляет "то, чего наш разум достигает с помощью диалектической способности. Свои предположения он не выдает за нечто изначальное, напротив, они для него только предположения как таковые, то есть некие подступы и устремления к началу всего, которое уже не предположительно. Достигнув его и придерживаясь всего, с чем оно связано, он приходит затем к заключению, вовсе не пользуясь ничем чувственным, но лишь самими идеями в их взаимном отношении, и его выводы относятся только к ним" (511 b-c). И для того чтобы еще отчетливее пояснить преимущество диалектики по отношению к математическим дисциплинам, Платон говорит устами Главкона, что "бытие и все умопостигаемое при помощи диалектики можно созерцать яснее, чем то, что рассматривается с помощью только так называемых наук, которые исходят из предположений. Правда, и такие исследователи бывают вынуждены созерцать область умопостигаемого при помощи рассудка, а не посредством ощущений, но поскольку они рассматривают ее на основании своих предположений, не восходя к первоначалу, то... они и не могут постигнуть ее умом, хотя она вполне умопостигаема, если постичь ее первоначало" (511 c-d).

В отличие от поддающейся лишь усилиям разума диалектики геометрия, по Платону, вынуждена довольствоваться менее совершенной способностью - рассудком, занимающим "промежуточное положение между мнением и умом" (511 d). Этим и объясняется подчиненное положение математических наук по отношению к высшей из наук - диалектике (у Аристотеля математика подчинена "первой философии") .

Преимуществом диалектики по отношению к геометрии для Платона оказывается ее "более чистый" характер: если дедуктивно построенная геометрия стремится не пользоваться ничем наглядным лишь в процессе доказательства сложных утверждений на основе первоначально принятых без доказательства исходных основоположений (для их "обоснования" геометрия вынуждена обращаться к помощи чувственных представлений), то диалектика более систематична в последовательном "отталкивании" от окружающей действительности, будучи самообосновывающейся наукой. Геометрии и следующим за ней наукам "всего лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать себе в них отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?" (533 c).

После формулировки начал дедуктивной науки в процессе развертывания ее содержания допускается опираться на ранее зафиксированные представления только в их словесной форме, стремясь не примешивать к ним дополнительных неформальных соображений. Нечего и говорить, что во времена Платона геометры еще были далеки от реализации в полном объеме выставленных требований. Лишь в конце XIX в. с введением аксиом связи, порядка, конгруэнтности и непрерывности удалось устранить остававшиеся у Евклида неформальные моменты, после чего изложение геометрических предложений стало "чисто словесным", без какой-либо опоры на пространственную интуицию.

Не допустимо ли в свете вышеуказанного, может заметить логик или философ, рассматривать учение об идеях Платона в качестве одной из фактических исторических предпосылок возникновения дедуктивного метода? В таком случае в процессе развития математика должна была впитать в себя не только внешние социально-исторические условия времен своего возникновения, но и элементы определенных философских доктрин, что, при нелюбви многих математиков к философии, вряд ли оказалось бы приемлемым для самосознания "точнейшей из наук".

"Слабый" вариант концепции А.Н. Колмогорова, таким образом, тоже нуждается в уточнении. Могла ли геометрия в хорошо известных социокультурных условиях своего существования самостоятельно преобразоваться в дедуктивную науку или же без дополнительного воздействия со стороны любимой Платоном диалектики здесь было не обойтись? Без ответа на этот вопрос составить себе более или менее полное представление об исторических условиях становления аксиоматического метода нельзя.

Проблема реконструкции исторической картины возникновения аксиоматического метода в рамках "слабого варианта" концепции А.Н. Колмогорова сводится, таким образом, к выбору между двумя возможностями: 1) дедуктивный метод зарождается внутри геометрии независимо от философии; 2) опыт "работы" с бестелесными объектами (такими, как "справедливость", "мужество") при обсуждении этической проблематики аккумулируется внутри философии, которая затем способствует "идеализации" и предмета изучения геометрии. Во втором случае платоновское учение об идеях выполняет функцию как бы катализатора в процессе преобразования геометрии в дедуктивную науку.

Ответ на вопрос, имело ли место на исторической почве Эллады подобное взаимодействие философии и геометрии или нет, не может быть решен на абстрактно-теоретическом уровне. Единственное, что здесь остается, это исторически-конкретный анализ платоновского учения об идеях в интересующем нас аспекте.

* * *

Целью теоретического знания является поиск общих законов, раскрыть которые одному "испытующему взгляду" не под силу. Тайны окружающего мира отступают лишь перед натиском мощи постигающей мысли, мышления в понятиях. Облеченные в словесную форму понятия оказываются исключительно эффективным инструментом познания, так что вполне естественным выглядит представление о неразрывной связи общих закономерностей бытия с мышлением. Даже если ученый и не задается вопросами о "природе" законов, "управляющих" действительностью, эмпирически несомненным для него является факт "причастности" этих закономерностей мыслящей голове. По этой причине чем-то само собой разумеющимся для современного взгляда выглядит и характеристика Платоном в "Федре" занебесного "царства идей" как бесцветной, неосязаемой сущности, зримой "лишь кормчему души - уму" (247с). Идеи "идеальны" - значит находятся "в голове".

Если, прочитав указанный фрагмент из "Федра", на этом и остановится, то тогда и построение Платоном теории идей, и преобразование геометрии на дедуктивно-аксиоматической основе будут выглядеть как нечто банальное, что рано или поздно все равно должно было свершиться. Знание может иметь дело лишь с чем-то повторяющимся, устойчивым, научные термины также однозначны и устойчивы (хотя бы в силу своей "знаковой формы"), поэтому словесная оболочка выражения знания автоматически, "по определению" оказывается пригодной для выполнения возложенной на нее функции.

Если источник возникновения теории идей и дедуктивного построения геометрии видеть в использовании при изложении науки однозначных терминов, гарантирующих одновременно общность и воспроизводимость доказательных рассуждений, то тогда невещественный характер идей и фигур окажется производным от их "словесного бытия". В таком случае "недедуктивный" характер многих существующих ныне наук придется отнести как раз на счет неоднозначности используемых в них слов естественного языка, "устранение" которой должно создать предпосылки последующей аксиоматизации. Аксиоматический метод предстает при этом как универсальный способ построения научных дисциплин. Правда, все равно остается вопрос о причинах равнодушия к логической дедукции, например, в Индии. Если в Китае это можно было бы попытаться объяснить использованием иероглифического письма, то в Индии санскрит обладал не меньшими формальными возможностями, нежели греческий язык. Тем не менее ни какого-то аналога платоновых идей, ни чего-то близкого к евклидовой геометрии мы при всем старании в истории индийской мысли не обнаружим. Представление о "знаковой" обусловленности формального характера научного знания не очень хорошо согласуется с реальной историей.

То обстоятельство, что воззрения творца теории идей отличны от представлений взявшего впервые в руки платоновы диалоги, видно даже из приведенного выше отрывка из "Федра". Указание Платона, что бесцветная идеальная сущность зрима лишь для ума (247 c), вполне гармонирует с нашими неотрефлектированными "общепринятыми" представлениями, но при чем тут Занебесье? Зачем вообще куда бы то ни было "помещать" Платону его идеи? В этом вопросе уже "сквозит" наше непонимание замысла древнего философа.

И уж совсем ставит в тупик фрагмент диалога "Парменид", в котором при рассмотрении предположения о делимости идей между почтенным элейцем и молодым Сократом происходит следующий обмен репликами:

- Но, положим, кто-нибудь из нас будет иметь часть малого: малое будет больше этой своей части; таким образом, само малое будет больше, а то, к чему прибавится отнятая от малого часть, станет меньше, а не больше прежнего.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

У платона идеальные геометрические объекты образуют лишь
Доказанная дедуктивным образом геометрическая теорема утверждает