<<<     ΛΛΛ     >>>   

Но это и не просто иллюзия, поскольку два номера это также и обозначения соответствующих экстенсивных величин, численностей, “классов”. Поэтому определение величины может быть также представлено и как включение класса в класс, но уже не в качестве элемента, а в качестве подкласса. Однако такое представление определения возможно, строго говоря, только после определения, то есть только после того, как сам процесс определения “угас”.

Таков действительный способ разрешения противоречия определенного количества (в терминологии Гегеля) или “несобственного класса” (в терминологии Рассела). Понятно, что этот способ коренным образом отличается от того способа, каким “разрешает” это противоречие Рассел. Согласно первому способу противоречие понимается как действительное противоречие, противоречие в самих вещах. “Это слишком большая нежность по отношению к миру, — писал Гегель, — удалить из него противоречие, перенести, напротив, это противоречие в дух, в разум и оставить его там неразрешенным”. Способ, каким разрешаются такого рода противоречия в познании, в мышлении, тот же самый, каким они разрешаются в действительности. Согласно второму способу противоречие понимается по кантовски: оно заключено в “духе”, в разуме, “разрешение” его означает такое изменение правильного наименования вещей, при котором противоречие как будто исчезает.

Однако говорить с полной определенностью о том, что противоречие, которое обнаруживается в процессе определения величин, есть противоречие в самих вещах, было бы не совсем верно. Но нельзя сказать также, что этот процесс так же произволен, как чисто словесная, номинальная дефиниция несобственного класса. Оно возникает “на полпути” между субъектом и объектом, так что на долю первого выпадает ограниченность, а на долю второго — “выхождение за каждую постигаемую им определенность, в дурное бесконечное”.

Противоречие, которое здесь возникает и разрешается, это противоречие определения, определенных вообще величин, то есть противоречие измерения, счета. Конечные экстенсивные величины выступают как определения объекта, орудие измерения этих величин, бесконечная шкала этих величин, счетное множество — выступает на стороне субъекта: не сами же себя измеряют и определяют величины. Только на “границе” взаимодействия субъекта и объекта возникает это противоречие, которое выступает также как противоречие конечного и бесконечного. Но оно здесь же и разрешается. Поэтому это противоречие, хотя оно и лежит в основании математики — ведь основанием ее как раз и является измерение и счет — отнюдь ее не разрушает.

Оказывается, число и есть то “третье”, которое совмещает в себе два “несовместимых” определения — быть одновременно “одним” и “многим”, элементом и классом. Оно и “девять” и “девятка”, обозначение определенного количества и одновременно его определитель, показатель, индекс. “Численность и единица составляют моменты числа”. Причем ни один из этих моментов не может быть устранен без того, чтобы не было бы уничтожено число как таковое. Если оно определяется как класс равномощных множеств (Рассел), как обозначение определенной численности, то этим схватывается только одна его “половинка”, только его экстенсивная сторона, и теряется другая — как раз более характерная для числа — его “половинка” — индекс-показатель, или собственно число. Ведь если мы определяем число “пять” как класс всех множеств, равномощных множеству пальцев одной руки, то мы должны будем включить сюда и само число “пять”, поскольку оно тоже равномощно числу пальцев одной руки. Поэтому, чтобы быть определенным числом, данный класс должен быть несобственным классом, то есть не только самим собой, определенной множественностью, но также и включить в себя самого себя в качестве элемента, то есть в качестве “пятерки”, “шестерки” и т. д.

То есть, если я представляю число в качестве численности, допустим, число “пять” как ряд счетных единиц: “один”, “два”, “три”, “четыре”, “пять”, то это ясно показывает, что число “пять” со своей экстенсивной стороны, со стороны численности, будет включать в себя само себя в качестве дискретной единицы, в качестве “пятерки”. Вот и получается, что число, именно благодаря раздвоенности внутри себя, способно включить в себя само себя в качестве элемента, быть больше самого себя. Число, и в этом его особенность, способно соотноситься с самим собой; и это возможно благодаря тому, что каждое отдельное число представимо и в виде ряда: “один”, “два”, “три” и т. д.; и одновременно в виде номера в этом ряду: “единицы”, “двойки”, “тройки” и т. д. Один аспект числа не существует без другого. Поэтому число ничто без так называемого ряда чисел, без счетного множества.

Натуральное число исторически первично по отношению к любому другому числу, потому что люди начали освоение количественной стороны действительности с ее практического освоения, а практическое ее освоение — это измерение и счет. Счет, как было уже сказано, первоначально производился путем фактического установления взаимно-однозначного соответствия между одним каким-нибудь реальным множеством, например, множеством пальцев на одной руке, и другим реальным множеством. Когда пальцев одной руки не хватало, то за эталонное множество брались пальцы обеих рук и т. д. Число закономерным образом возникло как необходимый результат в процессе исторического развития счета, и прежде всего потому, что с развитием последнего, с потребностью считать все большие и большие реальные множества, все время приходилось выходить за рамки того или иного реального множества-эталона. Натуральный ряд чисел образуется не только как результат этого постоянного выхождения за рамки любого конечного реального множества, но и сам он становится орудием этого постоянного выхождения, становится универсальным орудием счета.

Универсальность орудия счета означает бесконечность числового ряда. Но, в силу того, что в определении определенного количества бесконечность присутствует только на стороне субъекта и только функционально, как постоянно выходящая за свои собственные пределы конечная величина, возникает представление, согласно которому бесконечность, во-первых, имеет только чисто субъективное значение и, во-вторых, что она только потенциальная бесконечность. Стало быть, это субъективное представление можно отбросить — субъект вправе поступить со своими субъективными представлениями так, как ему хочется — и, тем самым, исключить противоречие.

Но такое субъективистское представление о бесконечности имеет очень серьезные последствия. Ведь в процессе определения величин потенциальная бесконечность в виде счетного множества выступает в качестве меры. А если мера субъективна, то где гарантия того, что мы при такого рода определении получаем объективно значимый результат? Вопрос тогда может быть поставлен так: имеет ли собственную меру объективное количество?

Мера всегда есть определенного рода отношение. Ближайшим примером отношения величин является дробное число. Гегель в качестве такового приводит дробь 2/7. “Дробь 2/7, — пишет он, — может быть выраженакак0,285714..., 1/1 — а — как а — а2 — а3 и т. д. Таким образом она дана как бесконечный ряд; сама дробь называется суммой или конечным выражением этого ряда”. Далее Гегель замечает, что в виде отношения может быть представлено и целое число, и другие дроби, а не только дробь 2/7, “которые, будучи обращены в десятичные дроби, не дают бесконечного ряда”, могут быть изображены как такой ряд “в числовой системе другой единицы”.

Таким образом бесконечный ряд и конечное выражение — это два разных выражения одного и того же количества, один раз выраженного в абсолютной, другой раз в относительной форме. Причем абсолютная форма выражения определенного количества вовсе не означает, что она совершенно безотносительна, но относительна она относительно некоторый универсальной системы отсчета — натурального ряда чисел, a здесь нас снова настигает бесконечность, хотя и в форме, отличной от бесконечного ряда, в которой разлагается дробь 2/7, потому что последний может быть выражен конечным числом, а со счетным множеством этого нельзя сделать. Выражаясь иначе, бесконечный ряд, который может быть представлен в виде некоторого конечного выражения, имеет определенное качество; такую бесконечность Гегель называет качественной бесконечностью, в отличие от количественной бесконечности натурального ряда.

Все дело в том, что если бесконечность натурального ряда еще можно представить только в субъективном и формальном значении, то про качественную бесконечность этого уже сказать нельзя, потому что здесь уже ясно проявляется, что 2/7 и 0,285714... это два разных выражения одного и того же. Нужно или оба выражения, и конечное и бесконечное, считать формальными и субъективными, или оба их признать объективными и материальными. И поэтому нельзя вслед за Лейбницем утверждать, что некоторые из возможных миров только конечны, другие только бесконечны, и наш мир является или тем или другим, — он может быть и должен быть и тем и другим, и конечным и бесконечным.

Рассел утверждает, что нет эмпирических доводов в пользу конечности числа единичных вещей во вселенной, так же как нет эмпирических доводов и в пользу противоположного. Логика эмпиризма действительно неспособна справиться с антиномией конечности и бесконечности. Кант потому и не справился с этой антиномией и оставил ее неразрешенной, что его логика запрещала выходить за рамки эмпирического применения. Антиномия — это и есть способ эмпирического обнаружения лежащего в ее основе действительного противоречия. Она выражает крайние полюса последнего без формы опосредствовования, которая представляет собой определенный закон и никогда не выявляется эмпирически, а всегда требует специального теоретического анализа. То, что капитал (самовозрастание стоимости) не возникает в обращении и не может возникнуть вне обращения, это только обнаружение противоречия капиталистического способа производства, которое должно быть выявлено в процессе теоретического анализа.

Относительная и абсолютная форма выражения — это две “половинки” одного и того же целого, определенного количества, каждая из которых другую непременно предполагает. Определенное количество не может само себя определять и само себя выражать. Но выражаясь в другом количестве, оно полагает его тем самым в качестве меры, в форме эквивалента. Но эквивалент может служить в качестве такового только тогда, когда он обладает определенной численностью. Пара сапог потому не может служить всеобщим эквивалентом стоимости, что они “неделимы”, не обладают численностью: если с их помощью надо выразить стоимость такого товара, который стоит меньше, чем одна пара сапог, то обмен состояться не может, потому что никому не нужен один сапог, только правый или только левый, не говоря уже о половине сапога или четверти.

“Относительная форма стоимости и эквивалентная, — пишет Маркс в своем “Капитале”, — это соотносительные, взаимно друг друга обусловливающие, нераздельные моменты, но в то же время друг друга исключающие или противоположные крайности, т. е. полюсы одного и того же выражения стоимости; они всегда распределяются между различными товарами, которые выражением стоимости ставятся в отношение друг к другу. Я не могу, например, выразить стоимость холста в холсте”.

Мы не можем выразить количество пальцев с помощью пальцев, — эквивалент должен иметь иную натуральную форму, иное качество. Но эквивалент количества в натуральном виде обладает тем же недостатком, что и товарный стоимостной эквивалент в натуральном виде — холст, сапоги, пшеница и т. д. — его нельзя “дробить” до бесконечности и нельзя увеличивать до бесконечности. Можно количество пяти яблок выразить с помощью количества пальцев одной руки, но нельзя с помощью пальцев выразить четыре с половиной яблока, так же как и шесть яблок. Иллюзия того, что мы можем сразу выразить любое конечное количество одновременно и в относительной и в эквивалентной форме, основана только на особых свойствах числа, так же как иллюзия того, что стоимость товара может быть сразу представлена и в относительной и в эквивалентной форме, иначе говоря в абсолютной форме, основана на особых свойствах денег. Когда я говорю, что здесь пять яблок, или когда я говорю, что пара сапог стоит десять рублей, то кажется, что я сразу непосредственно выражаю наличествующее в самом “теле” яблок, или в самом “теле” сапог, свойство. На самом деле я там и здесь “прикладываю” к “телу” яблок и к “телу” сапог определенный масштаб, в одном случае масштаб счетного множества, в другом — масштаб цен. Последние, правда, тоже выступают не только в форме эквивалента, но и в относительной форме, но свою относительную форму они выражают только через бесконечный же ряд отдельных товаров или отдельных конечных множеств. В этом неравноправие конечного и бесконечного. Это неравноправие в своеобразной форме подметил Спиноза. Идеи, которые разум образует абсолютно, писал он в трактате “Об усовершенствовании разума”, выражают бесконечность, а те, которые он образует в связи с другими, выражают определенность или ограниченность. В этом смысле можно сказать, что бесконечность абсолютна, конечность — относительна, так же как движение абсолютно, покой — всегда относителен.

Интересно отметить, что число разрешает противоречие, аналогичное тому, которое разрешают деньги как всеобщий эквивалент стоимости. И здесь “не простая аналогия, а общность метода”, как отмечала С.А.Яновская. Добавим, что Маркс применил этот метод к определению денег сознательно и целенаправленно, в то время как к определению числа этот метод последовательно еще не применялся. К сожалению мы не можем здесь обсуждать этот вопрос более подробно.

В заключение можно сказать только одно: если абстрагироваться от исторического происхождения числа и процесса его практического употребления, не проанализировав ни тот, ни другой процесс, то число будет казаться вещью совершенно “иррациональной”, абстрактный его анализ породит неразрешимые противоречия наподобие “парадокса” Рассела.

В наиболее общей форме этот “парадокс” обнаруживается уже у древних, которые сформулировали так называемый парадокс лжеца, или парадокс критянина: критянин говорит, что все критяне лгут. Спрашивается, говорит критянин правду, или он лжет. Но если он лжет, то он говорит правду, потому что он и говорит, что все критяне лгут. А если он говорит правду, то он лжет, потому что правда в том и состоит, что все критяне лгут.

Таков вообще “парадокс” всякого отношения к самому себе, потому что здесь относящийся и тот, к кому относятся, есть одно и то же. Это и субъект, и объект одновременно. Вообще существуют два подхода к решению проблем типа проблемы “лжеца”. Первый подход, — классический диалектический, —заключается в том, чтобы попытаться найти более общее выражение той проблемы, которая проявляется в виде особенного “парадокса”. Например, “парадокс” лжеца это “парадокс” любого высказывания о себе. Независимо оттого, говорю я о себе “я лгу”, или “я говорю правду”, я говорю о себе, и потому здесь высказывающий и то, о чем высказывание, совпадают. Иначе говоря, здесь совпадают субъект высказывания и объект высказывания. А совпадение противопложностей есть противоречие. И тогда надо признать или что всякое отношение к себе, всякая рефлексия, то есть всякое самосознание, противоречиво, или попытаться это противоречие исключить. И тогда это будет уже другой подход. И именно этот второй подход пытается реализовать Рассел своей теорией “типов”. Если свести этот подход к трюизму, то он сводится в принципе к тому, чтобы запретить отношение к себе, то есть всякую саморефлексию, всякое самосознание. А еще проще он заключается в том, чтобы заткнуть рот критянину, чтобы он не смог сказать, что он лжет. Но тогда практически становится невозможным число как инструмент, как орудие счета. Математика возможна, и действительна, как непротиворечивая наука, но только потому, что противоречие остается внутри числа, внутри процесса счета. Но в математике мы уже считаем не вещи, а результаты этого счета — числа, которые здесь проявляют себя исключительно со своей экстенсивной стороны.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

Где началось преобладание аполлонического начала в европейской культуре
Позднему капитализму удалось интегрировать все
Мареев С.Н. Мареева Е.В. Арсланов В.Г. Философия ХХ века
И в этом отношении сознание пролетариата ничем
Пишет основоположник современной герменевтической философии х