<<<     ΛΛΛ     >>>   

 
Нелинейные среды с положительной обратной связью

В химии, физике, биологии есть много примеров самоорганизации, но в очень редких случаях разработаны математические модели этих процессов. Ведь речь идет о понимании и копировании на моделях механизмов самоорганизации. Так, например, в замечательной колебательной химической реакции Белоусова-Жаботинского остаются плохо известными детали промежуточных реакций, их константы, хотя сама возможность колебательного режима следует из анализа упрощенных математических моделей. Например, из анализа математических моделей, построенных А.Д.Караваевым, работающим в лаборатории В.П.Казакова в институте органической химии Уфимского научного центра, следует, что изменение некоторых констант реакций на миллионные доли процента может радикально изменить тип наблюдаемого хаотического режима.

Само явление красиво, непривычно и потому загадочно. В пробирке (определенное время) периодически пробегает волна изменения цвета. Это означает, что хаотически движущиеся атомы и молекулы становятся периодически участниками каких-то согласованных процессов, которые, вероятно, очень быстро (как цепная реакция) развиваются и охватывают огромное число элементов среды, обеспечивая единое коллективное поведение. Не правда ли, достаточно глубокая аналогия с разнородным поведением людей, со своими интересами и волнами моды, социальными течениями, войнами и революциями, втягивающими огромные массы людей, часто даже против их воли?

Многие важнейшие открытия в науке 20-го столетия связаны с выявлением эффектов согласованного поведения (синергизмом) на макроуровне совокупностей отдельных элементов (атомов, электронов, клеток, особей), хаотически ведущих себя на микроуровне.

Например, в лазере возникает согласованный процесс излучения возбужденными атомами света одной длины волны и, главное, с одной фазой. Для обычного света характерны колебания электромагнитных волн разной длины и хаотическим образом меняющимися фазами (благодаря хаотическому поведению атомов-излучателей).

К согласованному поведению огромного числа элементов среды относятся возникновение смерчей в воздухе, конвективные ячейки на Солнце (гранулы), течения в океане и циклоны в атмосфере. Самопроизвольно возникающее согласованное поведение наблюдается и среди клеток организмов в процессе морфогенеза, среди элементов биоценозов или в социальных сообществах.

Но как объяснить и смоделировать новые свойства у образующегося целого? Как описать их структуры, их размер, форму или, возможно, спектр форм; законы их развития, вхождения в новые целостности и причины распада? Здесь новые возможности в понимании этих процессов дало применение нелинейных математических моделей и вычислительный эксперимент. Последнее связано с недостаточным развитием даже в современной математике аналитических методов исследования нелинейных моделей.

Важно отметить, что много новых явлений нелинейного мира было открыто в результате решения важных практических задач, в самой гуще научных, технических, военных проектов и исследований. Сюда, прежде всего, можно отнести задачи расчета процессов в атомных и водородных бомбах, ядерных реакторах. Среди других решенных задач можно выделить изучение различных явлений физики плазмы, процессов в установках управляемого термоядерного синтеза. Прогноз погоды, расчеты обтекания ракет, самолетов, автомобилей. Оптимизация процессов добычи нефти, процессов в лазерах и режимов работы реактивных двигателей. Расчеты траекторий ракет и возможностей космических полетов с посадкой и управлением роботами на Луне и Марсе. Несколько позднее были изучены модели ядерной зимы, проблемы потери контроля в СОИ, проведены расчеты многочисленных экономических, биологических, медицинских, социальных и экологических моделей.

Иногда высказывается мнение:"Да, ЭВМ, моделирование, вычислительный эксперимент применяется во многих областях техники и науки в разных странах мира. Но вот синергетика --- это очередное поветрие западной мысли в России". Как уже показано выше, развитие нелинейной математики, синергетики, а с ними и нового взгляда на мир и условия жизни в нем --- не очередная мода, а естественная стадия развития науки и культуры.

Но давайте все же на нескольких примерах покажем, что теория диссипативных структур, которую сейчас почти всегда в России связывают с работами А.Тьюринга, И.Пригожина, Г.Хакена, независимо развивалась в СССР и достигла больших результатов, как в области понимания механизмов самоорганизации, так и в практическом их применении в передовых областях науки и техники. Мало того, были открыты новые физические явления парадоксального характера и сформулированы неожиданные закономерности мира нелинейных процессов. В ряде случаев разработан новый аналитический, а не только численный, аппарат исследования нелинейных моделей. Так, например, в Институте Прикладной Математики АН СССР (теперь ИПМ им. М.В.Келдыша РАН), являвшемся в СССР пионером в области исследований с применением ЭВМ в новых областях техники и науки, совместно с ИТПМ (Новосибирск) СО АН СССР в начале 70-х годов было сделано открытие эффекта Т-слоя. Температурный слой (Т-слой) --- это самоподдерживающаяся диссипативная структура, т.е. локализованная на массе низкотемпературной плазмы область повышенной температуры, эффективно взаимодействующая с магнитным полем. Эффект ее самопроизвольного или индуцированного возникновения, а также условия и механизмы, обуславливающие это явление, были вначале установлены с помощью расчетов на ЭВМ и теоретического анализа модели процессов в плазме, затем зарегистрированы в Комитете по делам открытий в СССР как открытие N55, и, наконец, через несколько лет обнаружены в натурном эксперименте.

Обратим внимание, что первое издание на русском языке книги П.Гленсдорфа, И.Пригожина "Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" вышло в 1973 г., а французский вариант был издан немногим раньше. Насколько плохо работы И.Пригожина и его сотрудников по диссипативным структурам были известны в СССР, можно судить по тому сопротивлению физической общественности, с которым были восприняты статьи и доклады исследователей Т-слоя в ведущих научных центрах и на международных конференциях. Хотя в СССР, так же как в США и Европе, интенсивно проводились работы по физике плазмы, и в линейном приближении давно были выявлены теоретиками многочисленные типы неустойчивостей, но никто теоретически не мог ответить на вопрос, что с этими неустойчивостями будет на развитой нелинейной стадии. Каковы будут размеры возникших структур, их форма, как они будут взаимодействовать друг с другом, какова физика плазмы со структурами? Хотя в целом ряде натурных экспериментов наблюдались структуры в диссипативной плазме, но их адекватного теоретического, а в большинстве случаев даже компьютерного, обоснования не существовало.

Однако, через несколько лет открытие Т-слоя, сделанное, можно сказать, не на кончике пера, а на экране компьютера, было почти одновременно обнаружено несколькими группами экспериментаторов. Использование эффекта Т-слоя позволило создать опытные установки нового типа магнитно-гидродинамических генераторов с заметно большим коэффициентом полезного действия, непосредственно превращающих энергию потока плазмы в электрический ток. Позднее вышли несколько работ соавтора открытия Т-слоя В.С.Соколова с сотрудниками, дающие новые нетрадиционные объяснения природы хромосферных вспышек на Солнце и сопровождающих их явлений через эффект Т-слоя.

Другой пример --- возникновение и разработка в работах научной школы академика А.А.Самарского в ИПМ АН СССР и на ВМК МГУ новых парадоксальных представлений синергетики, связанных с изучением явлений, сопровождающих развитие в нелинейной среде режимов с обострением. Любопытно отметить, что физическая и математическая теория режимов с обострением возникла на острие исследований по лазерному термоядерному синтезу.

Весьма небольшая часть работ, иллюстрирующих сказанное и отражающая применение компьютерного моделирования нелинейных процессов, приведена в списке литературы к введению.

Когда слушают на "репетиции" доклад студента или аспиранта, которому предстоит защищать диплом или диссертацию, то часто советуют обо всем упомянуть кратко, а на одном результате остановиться детальнее. Последуем и мы этому традиционному совету. Обсудим несколько подробнее теорию нелинейных сред с положительной обратной связью.

Эта теория весьма велика. Только представителям научной школы, работавшим над этими проблемами в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН, Московском физико-техническом институте и Московском государственном университете принадлежит здесь около 500 работ. Построенная теория активно использовалась при исследовании задач физики плазмы, анализе проектов управляемого термоядерного синтеза, проблем лазерной термохимии и ряда других. Она привела к постановке многих необычных математических задач, решения которых обладают парадоксальными свойствами. Построенная теория послужила основой для интересных философских интерпретаций. Здесь же мы остановимся лишь на нескольких важных идеях и некоторых результатах, существенных для последующего изложения.

Принципиальным понятием в классической механике является материальная точка. Изменение ее состояния определяется вторым законом Ньютона, а само состояние полностью характеризуется шестью числами. Три числа задают координаты точки и три --- ее скорость. При этом большинство рассматриваемых объектов было таково, что преобразование

+t,

где некоторая постоянная скорость, не меняет хода процессов в них (математики говорят, что законы механики инвариантны относительно группы преобразований Галилея). При получении многих фундаментальных результатов естествознания, начиная с описания траекторий планет, традиционным предположением было допущение о несущественности диссипативных процессов, связанных с рассеиванием энергии. К ним относятся теплопроводность, трение, вязкость. Эти представления вошли в кровь и плоть современной науки и техники. В особенности, предположение о возможности описать объект с помощью конечного набора чисел (математики называют это гипотезой о конечномерности фазового пространства). Действительно, трудно представить себе, что, познавая мир, человек вынужден иметь дело с бесконечным набором параметров. Каковы эти числа и откуда они берутся, также на заре классической механики было понято.

Однако уже Лапласом для описания реальности было введено новое фундаментальное понятие --- сплошная среда. Это понятие является ключевым при описании процессов, которые развертываются не только во времени, но и в пространстве. При этом приходится считать, что для описания состояния каждой точки нужно знать несколько чисел.

В жидкости, например --- пять, характеризующих давление, температуру и три компоненты скорости. Если в вакууме распространяется электромагнитная волна, то нужно 6 чисел, три определяют электрическое поле и три магнитное, и т.д. Объекты такого типа принято называть распределенными в отличие от сосредоточенных, состояние которых характеризует конечный набор чисел. Для описания таких систем Лапласом был предложен новый класс математических моделей --- уравнения в частных производных. С помощью этого языка сформулированы выдающиеся достижения нашей цивилизации --- уравнения гидродинамики, уравнения Максвелла, уравнение Шредингера.

Распределенные системы или сплошные среды являются одним из наиболее сложных и интересных объектов современного естествознания. Представление о сложности процессов, которые могут иметь место в таких системах, дают картины течений жидкости (см. рис.11). Обратим внимание на причудливую геометрию наблюдаемого явления, на спонтанно возникающую упорядоченность, структуры. С более глубоким пониманием пространственно-временных процессов связан ряд высоких технологий и многие фундаментальные научные проблемы. Более глубокое понимание нерегулярных, турбулентных течений жидкости открыло бы дорогу к более быстрым и экономичным кораблям и самолетам. Совершенствование компьютеров и огромного большинства электронных систем неразрывно связано с технологией создания структур на микроуровне. Наконец, переход с молекулярного уровня на клеточный, на котором, вероятно, ждут разгадки многих тайн живого, связан с анализом не только временной, но и пространственной организации в сложной химической машине, каковой является клетка. И это только начало огромного списка. В этом списке есть и проблемы, непосредственно касающиеся будущего человечества. К уравнениям в частных производных, описывающим распределенные системы, относится ряд математических моделей демографии, социологии, экономической географии, науковедения. Их начали применять при описании исторических процессов.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

В этой модели считается
Характеризующих решение
В которой есть только два конкурирующих процесса
Размерность фазового пространства
Проблема глобальной хронологии древнего мира именно таковой пример одной классической некорректной