<<<     ΛΛΛ     >>>   

К концу IV в. до нашей эры центр математической науки переместился в Александрию. Город был основан Александром в 332 г. и быстро стал одним из основных торговых городов Средиземноморья. Являясь воротами в восточные земли, он осуществлял связь между Западом и культурами Вавилона и Персии. За короткий срок здесь возникла большая иудейская община, которая быстро эллинизировалась. Ученые из Греции выстроили школу и библиотеку, ставшие знаменитыми во всей античности. Не было другого собрания книг, которое могло бы соперничать с собранным в Александрии. К несчастью, этот уникальный источник древней науки и философии сгорел, когда легионеры Юлия Цезаря взяли город в 47 г. до нашей эры Именно в это время было непоправимо потеряно огромное количество материалов великих авторов классического периода. Без сомнения, сгорело также многое, имеющее меньшую ценность. Но это не может служить утешением, когда сгорают библиотеки.

Теория пропорций, изложенная Евклидом из Александрии.

Самый известный из александрийских математиков - Евклид, который преподавал около 300 г. до нашей эры Его "Начала" остаются одним из величайших памятников греческой науки. Здесь изложено в дедуктивной манере геометрическое знание того времени. Многое у Евклида не является его собственным изобретением, но ему мы обязаны систематизированным представлением о предмете. "Начала" в течение веков являлись примером, который многие старались достигнуть. Когда Спиноза выдвинул свою этику, "более геометрическую", именно Евклид служил моделью, и то же касается "Принципов" Ньютона.

Одной из проблем, за которую, как мы видели, активно взялись более поздние пифагорейцы, было построение иррациональных чисел как ограничивающих значений последовательностей бесконечных делений. И тем не менее полностью арифметическая теория этой проблемы так и не была сформулирована. В результате этого объяснение пропорций не могло быть разработано в арифметических терминах, поскольку оставалось невозможным дать иррациональному, или неизмеряемому, числу числовое название. С длинами дело обстоит иначе. Действительно, трудность впервые была обнаружена при попытке вычислить гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника с длиной стороны в одну единицу. Следовательно, полностью сформировавшаяся теория пропорций появилась в геометрии. Ее открытие принадлежит, кажется, Евдоху, современнику Платона. В форме, в которой эта теория дошла до нас, она изложена у Евклида, где весь вопрос освещен с замечательной ясностью и строгостью. Окончательный возврат к арифметике произошел с открытием примерно две тысячи лет спустя аналитической геометрии. Когда Декарт предположил, что геометрия может быть представлена средствами алгебры, он стремился фактически к научному идеалу Сократовой диалектики. Опровергая определение теории в геометрии, он нашел более общие принципы, на которых она должна быть основана. Точно такую же цель преследовали - насколько успешно, мы никогда не узнаем - математики Академии.

"Начала" Евклида - это чистая математика в современном смысле. Сообразовываясь в этом с традициями Академии, математики Александрии продолжали заниматься своими исследованиями, потому что их интересовали эти проблемы. Нигде это не видно более ясно, чем у Евклида. Здесь нет ни малейшего намека на предположение, что геометрия может быть полезной. Более того, чтобы овладеть таким предметом, требовалось длительное прилежание. Когда царь Египта попросил Евклида обучить его геометрии за несколько простых уроков, Евклид произнес свою знаменитую реплику, что царской дороги к математике не существует. И тем не менее было бы неправильно представлять себе, что математика никак не использовалась. Так же неверно думать, что математические проблемы нечасто возникают в практической жизни. Но одно дело - докапываться до происхождения некоторых конкретных теорий, и совершенно другое - оценивать их по их достоинствам. Эти два дела часто недостаточно различают. Бесполезно придираться к Евклиду за то, что он обращает мало внимания на социологию математического открытия. Его это просто не интересует. Придав определенную форму математическому знанию, однако так, чтобы оно имело возможность для роста, он продолжает работать с ним и придает ему строгий дедуктивный порядок. Научное занятие не зависит благодаря своей основательности от состояния нации или чего-либо подобного. Те же замечания применимы и к самой философии. Это, без сомнения, тот случай, когда условия времени привлекают внимание людей к определенным проблемам; теперь - более, чем когда бы то ни было, но это никак не меняет достоинств теорий, выдвинутых, чтобы решить эти проблемы.

Другим открытием, которое приписывают Евдоху, является так называемый метод разрежения. Эта процедура использовалась для вычисления площадей, ограниченных кривыми. Ее целью является разрежение пространства так, чтобы можно было заполнить его более простыми фигурами, чьи площади можно легко найти. В принципе, именно это происходит при интегральных исчислениях, для которых метод разрежения - настоящий предшественник. Самым известным математиком, применившим этот метод вычисления, был Архимед, который являлся не только великим математиком, но также и выдающимся физиком и инженером. Он жил в Сиракузах; согласно Плутарху, не однажды его техническое мастерство помогало сохранить город от завоевания вражескими армиями. В конце концов римляне завоевали всю Сицилию и вместе с ней Сиракузы. Город пал в 212 г. до нашей эры, и во время осады Архимед был убит. В легенде говорится, что римский центурион нанес ему смертельный удар, когда он был занят разрешением какой-то геометрической проблемы на горке песка в своем саду.

Архимед использовал метод разрежения, чтобы придать форму квадрата параболе и кругу. Что касается параболы, вписывание бесконечной последовательности все более маленьких треугольников приводит к точной числовой формуле. В случае с кругом ответ зависит от числа ?, соотношения длины окружности к диаметру. Поскольку это не рациональное число, метод разрежения может быть использован для получения приближения к нему. Вписывая и описывая правильные многоугольники с увеличивающимся числом сторон, мы приближаемся все более и более близко к окружности. Вписанные многоугольники всегда меньше в периметре, чем круг. Описанные окружности всегда больше, но разница становится все меньше и меньше с увеличением числа сторон.

Другим великим математиком III в. до нашей эры был Аполлоний из Александрии, который разработал теорию конических сечений. Здесь также мы имеем ясный пример опровержения определенных гипотез, поскольку пара прямых линий, парабола, эллипс, гипербола и круг выступают теперь как частные случаи одной и той же вещи: сектора конуса.

В других областях науки самые захватывающие успехи греков, возможно, относятся к астрономии. Некоторые из них мы уже упоминали, обсуждая взгляды различных философов. Самым поразительным достижением этого периода является создание гелиоцентрической теории. Аристарх из Самоса, современник Евклида и Аполлония, оказался первым, кто дал полное и подробное обоснование этой точки зрения, хотя возможно, что от нее просто воздерживались в Академии до конца IV в. Во всяком случае, у нас есть надежное свидетельство Архимеда, что Аристарх придерживался этой теории. Мы также находим ссылки на нее у Плутарха. Сущность этой теории заключалась в том, что Земля и планеты движутся вокруг Солнца, которое, вместе со звездами, остается неподвижным; Земля вращается вокруг своей оси, одновременно двигаясь по своей орбите. То, что Земля вращается вокруг своей оси, было известно уже Гераклиду, ученому Академии IV в. до нашей эры, в то время как отклонение от эклиптики было открытием V в. Таким образом, теория Аристарха была отнюдь не абсолютным новшеством, тем не менее по отношению к этому смелому отклонению от общепринятых взглядов того времени возникло противодействие и даже враждебность. Следует признать, что даже некоторые философы были против нее, возможно, главным образом из этических соображений. Поскольку, чтобы убрать Землю из центра вселенной, следовало действительно опрокинуть моральные нормы. Клеант, философ-стоик, зашел так далеко, что потребовал, чтобы греки предъявили Аристарху обвинение в неверии. Эксцентрические взгляды на Солнце, Луну и звезды временами бывают очень опасны, так же как неортодоксальные взгляды в политике. После этого выступления Аристарх защищал свое мнение более осторожно. Точка зрения, что Земля движется, оскорбила религиозные чувства в еще одном известном случае, когда Галилей поддержал теорию Коперника. Коперник, следует отметить, фактически просто возродил или заново открыл теорию астронома из Самоса. Написанное на полях одной из рукописей Коперника имя Аристарха делает это несомненным. Что касается относительных размеров и расстояний в Солнечной системе, результаты не равно успешны. Наилучшая оценка расстояния от Земли до Солнца равнялась ровно половине действительного расстояния. Расстояние до Луны было определено практически точно. Полученный диаметр Земли отличался на пятьдесят миль от правильного. Этот подвиг был совершен благодаря Эратосфену, который был библиотекарем в Александрии и изобретательным ученым-наблюдателем. Чтобы определить окружность Земли, он выбрал две точки для наблюдений, которые лежали почти рядом на одном и том же меридиане. Одна из них была в Сиене, на тропике Рака, где в полдень Солнце находится в зените. Это наблюдали отражением солнца в глубоком колодце. На 400 миль севернее, в Александрии было просто необходимо определить угол солнца, что легко делается измерением самой короткой тени от обелиска. Имея эту информацию, легко получить окружность и диаметр Земли.

Многие из этих знаний были вскоре забыты главным образом потому, что они расходились с религиозными предрассудками того времени. То, что да же философы были виноваты в этом, вполне понятно, поскольку новая астрономия угрожала ниспровергнуть этическое учение стоиков. Непредвзятый наблюдатель склоняется к тому, чтобы заметить, что это характеризует стоицизм как плохое учение и, следовательно, оно должно быть отвергнуто. Но это намерение - в идеале, а те, чьи взгляды таким образом оспаривают, не отдадут своих позиций без боя. Одним из редчайших подарков является возможность придерживаться взгляда с уверенностью и в то же время независимостью. Философы и ученые более, чем другие люди, старались научиться добиваться этого, хотя в конце концов они добивались в этом не большего успеха, чем далекие от этого люди. Математика замечательно подходила для поощрения такого отношения. Совершенно не случайно многие великие философы были также математиками.

В заключение, возможно, стоит подчеркнуть, что математика, кроме простоты своих проблем и ясности их структуры, предоставляет некоторое поле действия для создания прекрасного. Греки действительно обладали очень острым чувством эстетики, если будет позволен здесь лингвистический анахронизм. Термин "эстетика", как он употребляется сегодня, впервые был введен в употребление германским философом XVIII в. Баумгартеном. Во всяком случае, чувство, выраженное Кеатом в высказывании, что правда есть красота, - целиком греческое воззрение. Это именно та вещь, которую платоник мог ощущать, созерцая совершенные пропорции греческой урны. То же относится и к структуре математического доказательства. Такие понятия, как изящество и экономия, в этой области эстетичны по характеру.

Если начало пятого столетия до нашей эры характеризовалось борьбой греков против вторгнувшихся персов, то уже в начале четвертого столетия империя Великих Царей представляла собой колосс на глиняных ногах.

Не Ксенофонт ли утверждал, что маленькая группа хорошо обученных и дисциплинированных греческих воинов способна противостоять всей мощи Персии, даже в пределах ее территорий.

 <<<     ΛΛΛ     >>>   

Эмпирическое утверждение
Этот способ приблизительно объясняет движение луны с учетом влияния солнца
чье существование случайно
Рассел Бертран. Мудрость Запада 2 философии
Но император генрих iii